Преобразование прямых на плоскости

Выше было рассмотрено преобразование точек. Т.к. прямая задается координатами двух ее точек, для операций над прямой также можно использовать умножение матриц. Пусть имеется прямая с координатами концов, заданными векторами A[ 0,1 ] и B[ 2,3 ]. Возьмем произвольно матрицу преобразования . Эта матрица осуществляет растяжение (или сдвиг). Выполним операцию умножения для точек A и B.

3 B  

7 B` B`  

0 2 3 11 х

Матрица размером 2*2 преобразует любую прямую в другую прямую. Точки результирующей линии взаимно однозначны точкам исходной линии (аффинные преобразования!). Можно доказать, что данное утверждение распространяется не только на конечные, но и на серединные и все другие точки отрезка прямой. Для машинной графики существенно, что положение любой прямой линии преобразуется в новое положение преобразованием ее граничных точек и последующим проведением линии между полученными точками. Доказано, что использование матрицы 2*2 для преобразования параллельных линий не нарушает параллельности. Как следствие, в результате действия такой матрицы параллелограмм преобразуется в другой параллелограмм. При преобразовании пересекающихся прямых точка пересечения исходной пары линий преобразуется в точку пересечения результирующей пары.

Таким образом, матричное умножение можно использовать для графических построений. Например, можно равномерно или неравномерно менять масштаб фигуры. Если на вершины треугольника воздействует матрица , координаты увеличиваются в 2 раза. Если члены матрицы не равны, фигура искажается.

. 8 F` E`

y

6 D`

C` B`

4 4 F E

2 C B A` 2 D

A

0 2 4 6 8 10 x 0 2 4 6 8 10 x

Матрица Матрица

Применение общего матричного преобразования к единичному квадрату с одним углом в начале координат порождает параллелограмм.

A 0 0 0 0 A`

B 1 0 a b a b B`

C 1 1 d e a+d b+c C`

D 0 1 d e D`

y y

a + c Т.к. конкретный вид матриц преоб-

разования всегда известен, можно

c b + d посчитать площадь полученной фи-

гуры на основе площади исходной

d фигуры.

1 b

0 1 x 0 ac x

Дата добавления: 2014-01-11