Геометрическая интерпретация частных производных

Как и для функции одной переменной, для функции двух переменных можно дать геометрическую интерпретацию производной в точке.

Рассмотрим произвольную точку А(х₀, у₀, z₀) графика функции z = f(x,y) (рис.4.11). Проведем сечения графика плоскостями у = у₀ и x = х₀, параллельными координатным x0z и y0z. В сечениях получим кривые AM и AN. Проведем касательные AS и AT к этим кривым через точку А.

Частная производная функции z = f(x,y) в точке х₀,у₀ численно равна тангенсу угла наклона касательной AS:

= tg.

Частная производная в точке (х₀, у₀) численно равна тангенсу угла наклона касательной AT: = tg.

Пример 1.

Дана функция z = x2 + y; найти частные производные , .

Решение: = 2x; = 1.

Пример 2.

z = x2 sin y; Частные производные:

= 2x sin y; = x2cos y.

Пример 3.

z = . Частные производные:

= y x ^y-1; = x^yln x.

Пример 4.

. Частные производные:

=, = .

Пример 5.

u = x2 + y2 + x t z2. Частные производные:

Задание. Найти частные производные от функций.

Варианты к заданию.

1. ;	2. ;	3. ;
4. ;	5. ;	6. ;
7. ;	8. ;	9. ;
10. ;	11. ;	12. ;
13. ;	14. ;	15. ;
16. ;	17. ;	18. ;
19. ;	20. ;	21. ;
22. ;	23. ;	24. .

Дата добавления: 2014-01-11