Неявная функция и ее производная

Определение. Пусть функция z = F(x,y) определена и непрерывна в некоторой области. Пусть существует непрерывная функция y = f(x) такая, что пары (x,y) удовлетворяют уравнению

F(x,y) = 0.

В этом случае данное уравнение задает неявно функцию y = f(x).

Замечание. В действительности может не существовать ни одной функции y = f(x), удовлетворяющей уравнению F(x,y) = 0, или может существовать несколько таких функций. Например, не существует функции y = f(x), удовлетворяющей уравнению x2 + y2 + 1 = 0, а для уравнения x2 + y2–1 = 0 существует две функции, которые ему удовлетворяют: и .

Пример. Функция y = f(x) задана неявно уравнением: xy + x + y–1 = 0. Найти эту функцию в явном виде.

Искомую функцию найдем, разрешив уравнение относительно y:

y = (1–x) / (1 + x).

Можно вычислять производные от функции y = f(x), заданной неявно, через частные производные функции F(x,y) = xy + x + y–1. Для этого приведем без доказательства следующую теорему.

Теорема. Если непрерывная функция y = f(x) задана в неявном виде уравнением F(x,y) = 0, и если частные производные Fx (x,y) и Fy (x,y) непрерывны, то функция y = f(x) имеет производную для каждого значения x, для которого

Fy(x,y) 0 и эта производная выражается формулой

.

Пример. Найти производную функции y = f(x), заданной неявно уравнением: xy + x + y–1 = 0.

Решение. F(x,y )= xy + x + y–1, , .

Поэтому = – . Так как y = (1–x) / (1 + x), то

= –.

Такой же результат получим, взяв производную от функции, записанной в явном виде:

=.

Дата добавления: 2014-01-11