Примеры вычисления производных

Производная сложной функции

1. Пусть z = f(x,y), x = x(t), y = y(t). Тогда z = f(x(t), y(t)) является сложной функцией одного переменного t, и ее производная по t может быть вычислена по формуле:

.

2. Пусть z = f(x,y), x = x(u, v), y = y(u, v). Тогда z = f(x(u,v), y(u, v)) является сложной функцией двух переменных u и v, и ее частные производные можно вычислить по формулам:

Пример 1. Найти производную , если

Решение: Применим формулу .

== y; == x;

= 2t; ; = y2t + x .

Выразив x и y через t, получим

=(2 – 1)= . Ответ: = .

В данном примере проще было сначала выразить z через t, а затем найти : , . Данную формулу следует использовать, если функция неудобна для дифференцирования.

Пример 2. Найти производную если z = x² + y²,

y = .

Решение. Применим формулу , здесь t = x, и формула примет вид: .

= 2x; = 2y; = 1; = –;

Ответ: = 2х – 2y = 2х – 2 =

Если выразим z через х и продифференцируем по х, получим тотже ответ:

,

Пример 3. Найти производные и , если z = xy², x = u², y = ln v.

Решение.

Задание.

Найти .
1. ;	2. ;	3. ;
4. ;	5. ;	6. .
Найти .
1.;	2.;	3. ;
4.;	5. ;	6. .
Найти
1.;	2.;	3. ;
4. ;	5. ;	6. .

Дата добавления: 2014-01-11