Абсолютный экстремум функций нескольких переменных

Пусть функция задана в замкнутой области G.

Абсолютным максимумом (минимумом) функции в замкнутой области называется наибольшее (наименьшее) значение функции в этой области.

Функция непрерывная в замкнутой области достигает своего наибольшего и наименьшего значений.

Теорема 3.9. Функция нескольких переменных достигает своего наибольшего и наименьшего значений в замкнутой области либо в критической точке, являющейся внутренней точкой области, либо в граничной точке области.

Пример 3.29. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области G, ограниченной системой неравенств

Область G, в которой исследуется заданная функция, изображена на рис. 55.

Рис. 55

Запишем систему уравнений для нахождения критических точек функции

Решением системы является единственная точка , являющаяся внутренней точкой области G. Вычисляем значение функции в этой точке

. Значения функции в точках области G приведены на рисунке (в прямоугольниках).

Найдем наименьшее и набольшее значения на каждой граничной прямой области G.

Рассмотрим прямую (ОА) с граничными точками О (0; 0) и А (3; 0).

Ее уравнение . На этой прямой .

Производная функции при .

Значение функции в этой критической точке

.

Значения функции в граничных точках

; .

Прямая (ОВ) с граничными точками О (0; 0) и В (0; 3).

Ее уравнение . Уравнение функции .

Производная при .

Критическая точка , .

Значения функции в граничных точках

; .

Прямая (АВ) с граничными точками А (3; 0) и В (0; 3).

Ее уравнение .

Преобразуем уравнение исследуемой функции

.

Производная функции при ; .

Критическая точка .

Значение функции в этой точке .

О т в е т. в точке ;

в точках А (3; 0) и В (0; 3).

Дата добавления: 2014-01-11