Свойства операций над множествами

Операции объединения, пересечения, разности множеств обладают следующими свойствами:

1. Коммутативность объединения: А В = В А

пересечения: AB = В А

2. Ассоциативность объединения: (А В) С = А (В С)

пересечения: (AB) С = A (BС)

3. Дистрибутивность объединения относительно пересечения:

А (BС) = ( А В) ( А С)

или (AB) С = ( А С) (В С)

пересечения относительно объединения:

A (В С) = (AB) (АС)

или (А В) С = (AС) (BС)

4. Идемпотентность объединения: А А= А

пересечения: AА = А

5. Поглощения объединения: А J = J и А Ø = А

пересечения: AJ = А и АØ = Ø

6. Если АВ, то А В = В и AB = А

7. А (АВ) = А и A (А В ) = А

8. Законы де Моргана: (А В) = AB

(AB) = A В

9.

10. Закон двойного отрицания:

11. J Ø

12. .

Законы алгебры множеств по отношению к операциям пересечения и объединения подчиняются принципу двойственности: если в любом верном тождестве знаки пересечения заменить знаками объединения, а все знаки объединения заменить знаками пересечения (), знак универсального множества заменить знаком пустого множества, а знак пустого – знаком универсального множества Ø, то получим также верное равенство.

Например, - верное равенство. Тогда в силу принципа двойственности Ø – также верное равенство.

Доказательство некоторых свойств операций объединения и пересечения прямо следует из их определения, доказательство других свойств также можно провести.

Самостоятельно рассмотреть понятие пересечения, объединения «п» множеств.

Дата добавления: 2014-01-11