И в дополнении к подмножеству

Число элементов в объединении конечных множеств

Пусть А и В – два непустых конечных множества. Число элементов во множестве будем обозначать или . Например, если А = { a;b;c;d }, В = { m;n }, то = 4, а = 2.

Теорема: Число элементов в объединении двух конечных множеств равно сумме чисел элементов в каждом из них, уменьшенной на число элементов в их пересечении.

Доказательство:

Обозначим число элементов во множестве буквой , а во множестве буквой , т.е. .

B

1) Пусть Ø. Тогда и формула примет вид: .

Штриховкой на диаграмме показано . Очевидно, что .

2) Пусть Ø.

на диаграмме показано двойной штриховкой. Так как множества А и В – конечные множества и Ø, то также множество конечное. Пусть n()= c, .

Очевидно, что состоит из трех попарно непересекающихся подмножеств: (на диаграмме показано двойной штриховкой), (на диаграмме показано горизонтальной штриховкой), (на диаграмме показано вертикальной штриховкой). Тогда = + + (смотри случай 1).

Пусть =, =. Тогда = +c+=(+c)+= (+c)++c - c = (+c)+(+c) – c = m + p – c = .

Теорема: Число элементов в объединении трех конечных множеств А, В, С, равно:

Доказательство:

В основе доказательства лежит свойство ассоциативности операции объединения множеств: А также тот факт, что равные множества состоят из одних и тех же элементов. Тогда . Доказать сам-но.

Теорема: Пусть даны конечные множества А и В. И пусть В – собственное подмножество множества А. Тогда n(A \ B) = n(A)-n(B).

Доказательство

Пусть даны множества А и В, где . Тогда , и Ø. Тогда . Отсюда .

Так как , то , где .

Лекция № 6. ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ.

Контрольные вопросы:

1. Декартово произведение двух и более множеств.

2. Свойства декартова произведения множеств.

3. Графическое изображение декартова произведения двух числовых мно­жеств.

4. Число элементов в декартовом произведении конечных множеств.

5. Связь введенных понятий с начальным курсом математики.

Литература: (1) гл. I, § 1 п. 6; (2) гл. I, § 1, с. 25-33, 38-39; (3) гл. I, § 1 п.5; (4) гл. I, с. 37-38; (5) гл. I, §§ 1.4, 1.7.

Введем, прежде всего, понятие пары. Это понятие часто встречается в обыденной жизни: пара рукавиц, пара глаз, пара детей и т.д.

В школьном курсе математики с парами встречаемся в процессе знакомства с прямоугольной системой координат. Обыкновенная дробь – это тоже пара двух чисел.

В общем случае под парой будем понимать два элемента, расположенных в определенном порядке (в этом случае говорят об упорядоченной паре элементов). Символическая запись: (а; b) или < а; b >. Если дана пара (а; b), то а – это первая компонента пары, а b – вторая компонента пары.

Определение: Две пары и назовем равными, если их соответствующие компоненты равны, т.е. и ; назовем различными, если хотя бы одна из компонент первой пары не равна соответствующей компоненте другой пары, т.е. или .

Обобщением понятия пары является «тройка», «четверка», и т.д. «п -ка» элементов.

Всякую упорядоченную систему (набор) элементов назовем кортежем. Например, запишем множество букв в слове «параллелограмм»: А= {п; а; р; л; е; о; г; м} и кортеж букв в этом слове: <п; а; р; а; л; л; е; л; о; г; р; а; м; м>.

Замечание: В кортеже в отличие от множеств существенен порядок следования элементов, а также допускается выписывание одинаковых элементов.

Пусть даны два непустых множества А и В и пусть а.

Определение: Декартовым произведением двух непустых множеств А и В называется множество упорядоченных пар (а; b) таких, что а.

Символическая запись: .

= {(а; b)| а }.

Операция отыскания декартового произведения двух множеств называется декартовым умножением.

Если хотя бы одно из множеств А или В является пустым множеством, то естественно принять, что и их декартово произведение - пустое множество.

Пусть А = Ø, а В Ø. Тогда = {(а; b)| а Ø, bВ }.

а Ø – это ложное утверждение, т.к. пустое множество элементов не содержит. Следовательно, пары (a; b) не существует, т.к. не существует элемента а. Тогда Ø В= Ø. Аналогично, А Ø= Ø, и Ø Ø = Ø.

Пример: Пусть А = { x; y }, В = {1; 2; 3}. Тогда = {(x; 1), (x; 2), (x; 3), (y; 1), (y; 2), (y; 3)}. Заметим, что декартово произведение , в этом случае, задано перечислением элементов.

Замечание: Если множества А и В равны (А=В), то = и называется декартовым квадратом.

Определение: Декартовым произведением «п» множеств называется множество упорядоченных «п-ок» таких, что

Из данного определения следует, что декартово произведение двух множеств – это частный случай декартова произведения «п» множеств.

Если , то

Способы задания декартова произведения двух множеств

По определению декартово произведение двух множеств – это множество, значит, оно так же задается: 1) перечислением элементов и 2) указанием характеристических свойств.

Перечислением элементов декартово произведение задано в рассмотренном ранее примере, где А = { x; y }, В = {1; 2; 3} и = {(x; 1), (x; 2), (x; 3), (y; 1), (y; 2), (y; 3)}.

Запись декартового произведения на математическом языке – это и есть его задание на языке характеристических свойств: = {(а; b)| а }.

Если множества А и В – конечные множества, то и их декартово произведение так же конечное множество. Перечислить элементы множества можно по-разному, например, с помощью таблицы, графа. Зададим = {(x; 1), (x; 2), (x; 3), (y; 1), (y; 2), (y; 3)} с помощью таблицы:

A ^B
x	(x;1)	(x; 2)	(x;3)
y	(y;1)	(y;2)	(y;3)

С помощью графа:

Если множества А и В – числовые, то их декартово произведение можно изобразить на координатной плоскости. В этом случае говорят о графическом задании декартова произведения множеств. Декартово произведение множеств А = { x; y } и В = {1; 2; 3} задать графически нельзя, т.к. А не является числовым множеством.

Пусть A = { x | xR, x 3}= (-;3], а B = { y| yR, |y| 5}= [-5;5].

Зададим декартово произведение этих множеств на координатной плоскости. Изобразим множество А по оси (Ox), а множество В по оси (Oy). Множество точек координатной плоскости, абсцисса которых есть действительное число, меньшее или равное 3 (x 3) располагается левее прямой x = 3 (горизонтальная штриховка). Множество точек, ордината которых есть действительное число, модуль которого меньше или равен 5, располагается между прямыми y = -5 и y = 5 (вертикальная штриховка). Тогда декартово произведение множеств А и В – это множество точек, расположенных левее прямой x = 3 и между прямыми y = -5 и y = 5. (двойная штриховка).

Дата добавления: 2014-01-11