Взаимное расположение плоскостей. Взаимное расположение прямых на плоскоси

Пусть заданы две плоскости и соответственно уравнениями и . Если эти плоскости пересекаются, то их нормальные векторы неколлинеарны. Если же плоскости параллельны или совпадают, то их нормальные векторы и коллинеарны. Одним из критериев коллинеарности является условие пропорциональности координат. Это значит, если , то

. (1)

Пусть условие (1) выполняется, и пусть точка , т.е. . Тогда:

.

Таким образом, доказана следующая

Теорема. Для того чтобы две плоскости совпадали, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при неизвестных и свободные члены в их общих уравнениях были пропорциональными. Для того чтобы две плоскости были параллельными, но не совпадали, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при неизвестных в их общих уравнениях были пропорциональными, а свободные члены – им не пропорциональными. Для того чтобы две плоскости пересекались, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при неизвестных в их общих уравнениях не были пропорциональными.

Точно так же доказывается и

Теорема. Для того чтобы две прямые на плоскости совпадали, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при неизвестных и свободные члены в их общих уравнениях были пропорциональными. Для того чтобы две прямые на плоскости были параллельными, но не совпадали, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при неизвестных в их общих уравнениях были пропорциональными, а свободные члены – им не пропорциональными. Для того чтобы две прямые на плоскости пересекались, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при неизвестных в их общих уравнениях не были пропорциональными.

Дата добавления: 2014-01-13