Дифференцирование функции, заданной неявно и композиции функций

Функция переменных называется заданной неявно, если она задана уравнением , не разрешенным относительно . В этом случае частные производные функции находятся в результате дифференцирования функции по свободным переменным и по зависимой переменной .

В случае, если – функция одной переменной , заданная уравнением , то

.

В двумерном случае, если – функция двух переменных и , заданная уравнением , то

.

В общем случае, если – функция переменных, заданная уравнением , то частные производные находятся по формулам

, , …,

Если в задана сложная зависимость , т.е. функция определена в области , а семейство функций определены в и области изменения функций этого семейства содержатся в множестве , то если функция определена в области и непрерывна в , а семейство функций определены в , непрерывны в , и имеет в этой точке непрерывные первые производные, а также при условии, что функции

,

являются непрерывными в точке и имеют в этой точке непрерывные первые производные, то

.

Тогда при дифференциальном анализе функциональной зависимости

справедливы следующие соотношения:

Если сложная функция имеет в точке непрерывные первые производные, то она является дифференцируемой в этой точке и ее полный дифференциал первого порядка обладает свойством инвариантности и имеет вид:

Различие между полными дифференциалами простой и сложной функций состоит в том, что для простой функции приращение независимой переменной равно ее дифференциалу, а для сложных функций это равенство не выполняется.

Дата добавления: 2014-01-13