Геометрическое истолкование дифференциального уравнения

Пусть является решением дифференциального уравнения . График функции называется интегральной кривой уравнения. Само дифференциальное уравнение устанавливает зависимость между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой в той же точке.

Если через обозначить угол между касательной и интегральной кривой в точке и положительным направлением оси , то , а , следовательно, , что означает, что направление касательных к интегральным кривым задается самим дифференциальным уравнением.

Геометрически уравнение равносильно заданию в области определения функции поля направлений, а интегрирование этого уравнения равносильно проведению таких линий, которые в каждой своей точке касаются направления поля, заданного в этой точке.

Изучая поле направлений, определяемое данным дифференциальным уравнением, получают некоторое представление об интегральных кривых этого уравнения, а иногда и сами интегральные кривые. Линия, вдоль которой направление поля, определяемого уравнением одно и то же, называется изоклиной. Уравнение изоклины получается из уравнения , если положить , т.е. .

Пример. Изоклинами уравнения является семейство окружностей.

Дата добавления: 2014-01-13