Однородные дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Задача Коши

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка состоит в том, чтобы найти решение, которое при заданном значении аргумента принимает заданное значение , т.е. удовлетворяет начальному условию

.

Геометрически задача Коши формулируется следующим образом: среди всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения выделить ту, которая проходит через заданную точку . Решение задачи Коши называют частным решением дифференциального уравнения.

Пример. Найти:

семейство кривых, для которых угловой коэффициент касательной равен ординате точки касания;

кривую этого семейства, проходящую через точку .

Решение.

Дифференциальное уравнение искомого семейства или .

Проинтегрировав обе части равенства, получим: , откуда ‑ уравнение семейства кривых, обладающих заданным свойством.

Определим значение , соответствующее начальным значениям: , т.е. .

Следовательно, ‑ искомая интегральная кривая.

Дифференциальное уравнение –го порядка можно свести к системе дифференциальных уравнений 1-го порядка. В самом деле, если обозначить через , через ,…,через .

Получим систему дифференциальных уравнений:

Для этой системы также можно ввести понятия частного и общего решений, а также начальных условий. Начальные условия можно задавать значениями всех функций в некоторой точке , т.е. это просто начальные условия исходного уравнения –го порядка. Когда такое решение будет найдено, то функция будет искомым частным решением исходного уравнения –го порядка. Верно и обратное: если дана произвольная система дифференциальных уравнений первого порядка, то, исключив из нее все неизвестные функции, кроме одной, ее можно свести к одному уравнению соответствующего порядка, которое, возможно, проще решить.

Пример. Решить систему двух уравнений первого порядка:

Решение. Продифференцировав первое уравнение, получим . Подставим в него из второго уравнения, получим . Общее решение этого уравнения имеет вид . Используя первое уравнение, получаем , и исходная система решена.

Теперь рассмотрим систему дифференциальных уравнений первого порядка вида

которую коротко можно записать в векторной форме

Задача Коши для такой системы формулируется следующим образом: для заданной точки найти вектор-функцию , которая является решением системы уравнений и .

Рассмотрим задачу Коши для разрешенного относительно дифференциального уравнения –го порядка , которое можно получить из рассмотренной выше системы дифференциальных уравнений первого порядка, если ввести обозначения:

;

;

;

;

………;

;

,

получится эквивалентная система дифференциальных уравнений первого порядка.

Задача Коши для уравнения –го порядка формулируется следующим образом: найти решение уравнения для данных значений

Точки и называются начальными условиями, их можно записать также в виде и .

Существование и единственность решения задачи Коши может быть сформулировано в виде следующих теорем.

Теорема. Пусть в некоторой области функция и ее частная производная непрерывны. Тогда через каждую точку проходит единственное решение дифференциального уравнения.

Графически это можно представить как семейство кривых, представляющих графики решений, которые полностью заполняют область , но при этом они не могут иметь общих точек, т.е. они не пересекаются и не касаются друг друга.

Теорема. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Если функции и их частные производные по непрерывны в –мерной области , то через каждую точку области походит единственное в области решение системы дифференциальных уравнений

Теоремы существования и единственности решения задачи Коши позволяют описать множество решений дифференциального уравнения в виде общего решения.

Если уравнение вида после преобразования может быть записано в виде , то оно называется уравнением с разделяющимися переменными.

Исключим из рассмотрения точки, в которых и . После этого разделим обе части уравнения на и получим уравнение:

,

в котором переменные разделены.

Общим интегралом уравнения будет:

.

Пример. Найти общий интеграл уравнения и выделить интегральную кривую, проходящую через точку .

Общим интегралом будет или .

Полагая в нем , находим, что . Искомой интегральной кривой будет .

Пример. Найти общий интеграл

Разделим переменные в данном уравнении, деля обе части на :

.

Почленно интегрируя, получим:

;

;

.

Применим изложенный метод к задаче об эффективности рекламы.

Пусть торговой фирмой реализуется некоторая продукция, о которой в момент времени из рекламы получили информацию человек из общего числа потенциальных покупателей. Далее эта информация распространяется посредством общения людей, и в момент времени число знающих о продукции людей равно . Сделаем предположение, что скорость роста числа знающих о продукции пропорциональна как числу осведомлённых в данный момент покупателей, так и числу неосведомленных покупателей. Это приводит к дифференциальному уравнению

.

Здесь – положительный коэффициент пропорциональности. Из уравнения получаем равенство дифференциалов двух функций аргумента :

.

Интегрируя левую и правую части, находим общее решение дифферен­циального уравнения:

.

В общее решение входит неопределенная константа . Полагая , получим равенство:

,

из которого определим функцию :

.

Здесь . Такого вида функция называется логистической, а её график – логистической кривой.

Если теперь учесть, что и положить где , то можно найти значение константы . Логистичеcкая функция примет вид:

.

На рисунке приведены примеры логистических кривых, полученных при различных значе­ниях . Здесь величина условно принималась за 1, а величина бралась равной 0,5.

С помощью логисти­ческой функции описыва­ются многие экономические, социаль­ные, технологичес­кие и биологические про­цессы, например, постоян­ный рост продаж, распростра­нение слухов, распространение техни­ческих новшеств, рост популяции определенного вида животных и др.

Понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с понятием однородной функции.

Многочлен называется однородным степени , если все члены его имеют один и тот же порядок , т.е. для каждого члена выполняется условие .

Например, есть однородный многочлен степени 2. Интересно отметить, что если аргументы и однородного многочлена степени заменить пропорциональными величинами и , то в результате исходный многочлен будет умножен на величину, равную коэффициенту пропорциональности в степени , т.е. . Так, для приведенного выше полинома

Это свойство положено в основу общего определения однородной функции.

Определение. Функция называется однородной функцией степени (или -го измерения), если для любого числа имеет место тождество

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если коэффициенты и при дифференциалах переменных и – однородные функции одной и той же степени.

Пусть однородное дифференциальное уравнение имеет вид или . Записывая это уравнение в полных дифференциалах, получим

.

При стоит коэффициент, равный единице, т.е. однородная функция нулевой степени. Следовательно, также должна быть однородной функцией нулевой степени. Таким образом, дифференциальное уравнение первого порядка является однородным тогда и только тогда, когда является однородной функцией нулевой степени. Другими словами, однородное дифференциальное уравнение первого порядка может быть преобразовано к виду .

Подстановка , где новая неизвестная функция, приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

Если , то и . Подставляя в уравнение, получим:, т.е. или .

После интегрирования подставим вместо и получим общий интеграл данного уравнения.

Пример. Проинтегрировать уравнение .

Разделив обе части равенства на , получим уравнение, правая часть которого есть функция отношения :

.

Положив в нем и , получим уравнение с разделяющимися переменными:

.

Разделяем переменные: .

Интегрируя и подставляя вместо , получим общий интеграл исходного уравнения:

;

;

.

Дата добавления: 2014-01-13