Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

с непрерывными коэффициентами и .

Предположим, что и – частные (т.е. не содержащие произвольных постоянных) решения этого уравнения.

Определение. Два решения и называются линейно зависимыми, если можно подобрать числа и не равные одновременно нулю, такие, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю, т.е.

.

В противном случае, если таких чисел подобрать нельзя, решения и называются линейно независимыми. Иными словами, если функции и линейно независимы и выполняется тождество , то числа и одновременно равны нулю.

Очевидно, решения и будут линейно зависимыми тогда и только тогда, когда они пропорциональны друг другу, т.е. (или наоборот), где – постоянный коэффициент пропорциональности.

Понятие линейной независимости применимо к любой паре функций. Аналогично определяется линейная зависимость и линейная независимость нескольких функций.

Зная два частных линейно независимых решения линейного однородного уравнения легко получить общее решение этого уравнения.

Теорема. Если и – линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка

,

то общее решение уравнения есть линейная комбинация этих частных решений, т.е. общее решение имеет вид , где и – произвольные конечные постоянные величины.

Дата добавления: 2014-01-13