Приведение податливости звеньев

Определение приведенных параметров упругого звена

Анализируя ЭФМ, имеем несколько случаев выделения (выбора) упругого звена.

а) Упругое звено представлено специальным элементом (пружиной, пневмоцилиндром, торсионом и т.п.), деформация которого существенно превышает деформации других звеньев ЭФМ, а сила предварительного поджатия выбирает в одну сторону все зазоры в кинематических парах во время процесса.

В этом случае при расчетах в качестве исходной информации принимаются характеристики жесткости (податливости) и диссипации этого специального звена, а характеристиками других звеньев пренебрегают.

б) Упругое звено является одним из звеньев или условным элементом в точке контакта звеньев и по величине деформаций не выделяется значительно из других звеньев.

В этом случае для корректного задания исходной информации необходимо учитывать совокупные свойства способности к деформации (жесткость – податливость), рассеянию энергии при деформации (коэффициенты диссипации), зазора.

Эти совокупные свойства называются приведенными или эквивалентными характеристиками.

В основе всех методов приведения лежит принцип сохранения соответствующего вида энергии в совокупности элементов и в элементе, к которому приводятся параметры.

Эквивалентные характеристики звена приведения представляют в полном объеме преобразование энергетического потока во всех звеньях ЭФМ в процессе движения и обеспечивают выполнение закона сохранения энергии.

Сначала рассмотрим, как представляются деформативные свойства звена – характеристики жесткости и податливости.

Уточним понятия жесткости и податливости.

В курсе теоретической механики и теории механизмов и машин вы уже сталкивались с понятием жесткости пружины. Жесткость является характеристикой градиента нарастания силы при изменении длины пружины (). По определению, податливость - это обратная величина: изменение длины пружины (упругого элемента) при изменении действующей силы ().

Однако все это очень просто в случае деформации в одном направлении для одной степени свободы. В реальных системах нередко звенья подвергаются сложной деформации, имеющей несколько степеней свободы. В этом случае характеристики жесткости и податливости представлены матрицей с размерностью, равной числу степеней свободы.

Определение характеристик податливости и жесткости звена сложной формы, в общем случае, представляет собой отдельную сложную задачу, решаемую на ЭВМ с использованием методов конечного элемента.

Интегральные характеристики жесткости и податливости цепочки звеньев по физической природе отражают те же свойства, как и характеристики отдельного звена. В последовательной цепочке накапливаются (складываются) перемещения звеньев под действием силы в упругом звене. В параллельной цепочке звеньев, наоборот, действующие силы в ее ветвях пропорциональны деформациям, вызванным перемещением задающего звена.

В ЭФМ, как правило, взаимодействие звеньев всегда представлено последовательной цепочкой. При наличии в механизме параллельных потоков энергии каждый поток представляется отдельным ЭФМ. Поэтому деформативные свойства звеньев в ЭФМ удобнее представлять, используя характеристику податливости звена.

Чтобы у вас сложилось физическое представление о том, как эти характеристики определяются, рассмотрим постановку задачи для определения характеристик податливости звена. Компоненты матрицы податливости отражают перемещения в одном узле (кинематической паре) звена под действием силы, приложенной к этому узлу. Такой узел называется упругим. Остальные кинематические пары, принадлежащие звену, принимаются закрепленными. Компоненты действующей силы принимаются единичными. Далее решается задача определения напряженно-деформирован­ного звена конструкции, которая определяет перемещения упругого узла.

Рис.12. Схема определения характеристик податливости звена.

Компоненты матрицы податливости h_jk в упругом узле – это перемещения этого узла в j- направлении под действием единичной силы действующей в направлении k. ; h_jk = dj при R_k=1 (j=1,2; k=1,2).

Для определения приведенных характеристик упругого звена примем, что потенциальная энергия, накапливаемая в упругом звене в каждый момент движения равна потенциальной энергии во всех звеньях ЭФМ в тот же момент.

;

Представляя потенциальную энергию в виде квадратичной формы, имеем:

;

Если рассмотреть последовательное накопление энергии под действием отдельных компонент упругой силы в упругом звене равных 1, то из этого равенства получим выражение для приведенной матрицы податливости упругого звена, через матрицы податливости отдельных звеньев и матрицы реактивных коэффициентов в упругих узлах звеньев:

;

Таким образом, приведенная податливость представляется матричной операцией. Приведенная податливость изменяется в зависимости от положения звеньев в соответствии с изменением реактивных коэффициентов.

Особый случай составляет ЭФМ, в котором массивное звено взаимодействует с другим массивным звеном или стойкой в нескольких опорных точках.

Примерами может быть взаимодействие лафета с грунтом, рассмотренное в примере динамического расчета.

или взаимодействие шасси САО с грунтом (будем рассматривать во второй части курса)

В этом случае упругое звено имеет распределенные по опорным точкам параметры.

Кинематические пары звена, связывающие массивные звенья или стойку, принимаются упругими или смещающимися в соответствии со схемой взаимодействия МЗ или стойки. В этом случае энергия распределяется по параллельным потокам между опорами, и деформативные свойства удобнее представлять, используя характеристику жестокости звена.

Характеристики жесткости в узлах определяются величиной реакции в узле в направлении приложенного единичного перемещения узла. Они образуют матрицу размерности равной числу направлений единичного перемещения узла.

Жесткости опорных элементов определяются или задаются отдельно. Это могут быть упругие элементы типа пружин, пневмоамортизаторов, торсионов. Демпфирующие элементы типа гидроамортизаторов. Или сложные элементы как, например, взаимодействие сошников с грунтом.

Во всех этих случаях упругая сила представляется в виде обобщенной силы в уравнениях движения массивного звена. Если усилие в опорах определяется по сложному закону, соответствующие составляющие обобщенной силы принимаются для каждой опоры отдельно. Для опор, в которых упругую силу можно представить потенциальной и (или) вычисляемой в соответствии с функцией Релея (линейный случай), составляющая обобщенной силы может быть представлена интегрально:

Во всех случаях параметрами, определяющими величину упругой силы, являются перемещения и скорости точки контакта, которые вычисляются по перемещениям и скоростям массивных звеньев:

где- перемещения и скорости центров МСК взаимодействующих МЗ в НСК,

- перемещения центров МСК взаимодействующих МЗ в обобщенных координатах

- перемещения и скорости опоры в системе координат, в которой задаются характеристики жесткости (системе осей податливости) или действующие силы;

-вектор точки контакта в местной системе координат массивного звена i;

- матрица перехода от смещений (скоростей) в системе обобщенных координат в НСК.

- матрица преобразования из местной системы координат звена i в НСК.

- матрица преобразования из системы координат, в которой заданы перемещения центра МСК, в систему осей податливости в точке контакта.

Для случая сложного представления силы в контакте, как уже я рассказывал, используется принцип инвариантности работ:

Составляющие обобщенной силы могут быть вычислены, задавая последовательно

Для линейного случая:

Изменение потенциальной энергии упругого контакта вследствие смещения массивного звена на равно:

Изменение рассеиваемой энергии в упругом контакте вследствие изменения скорости массивного звена на равна

Обобщенная сила, соответствующая изменениям переменной q_i, равна: ;

Если рассмотреть смещения и скорости в точках контакта под действием единичных обобщенных смещений и скоростей, то обобщенную силу можно вычислить как приращение потенциальной и рассеиваемой энергии:

Например, для рассмотренного примера динамики орудия, обобщенные силы в соответствии с изложенным могут быть определены следующим образом.

Рис.13. Схема определения жесткости распределенного упругого звена связи лафета орудия
с грунтом.

Перемещения точек контакта вычисляются:

Контактные силы могут быть вычислены следующим образом:

Если использовать выражения для сил, то обобщенные силы по переменным Х₁,У₁,φ можно вычислить:

Если использовать выражения по изменению потенциальной энергии получим те же величины, если принять во внимание, что

Сравним предложенный метод приведения упругих характеристик с излагаемым Вам ранее в курсе теоретической механике методе приведения через передаточные отношения.

В случае системы с одной степенью свободы определение приведенного значения податливости через реактивные коэффициенты и через передаточные отношения эквивалентно.

Действительно: ;

С другой стороны

Однако не следует заблуждаться. В реальных механизмах упругое звено нередко имеет несколько степеней свободы, и показанная выше эквивалентность выражений отсутствует.

Так, например, для случая механизма досылки, показанного на рис. 3, в «кривом рычаге», осуществляющем связь лотка со стволом и отражающем упругое звено с двумя степенями свободы, потенциальная энергия между различными направлениями деформации распределяется в следующем отношении:

Распределение потенциальной энергии отражает величину компонент матрицы податливости.

Таким образом, практически половина энергии деформации звена реализуется через перекрестные члены . Такие члены в оценочной модели через передаточные отношения не учитываются. Это может привести к значительным погрешностям в результатах расчетов.

Дата добавления: 2014-01-14