Тема №6 1 страница

Тема №5

Тема №4

1. Понятие функции нескольких переменных.

2. Частные производные. Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференциал.

3. Частные производные и дифференциалы высших порядков, теорема о равенстве смешанных производных.

4. Понятие экстремума функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия. Случай двух переменных. Условный экстремум. Прямой метод отыскания условного экстремума.

5. Функции спроса и предложения. Функции полезности. Кривые безразличия

1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

2. Основные свойства неопределенного интеграла.

3. Таблица интегралов. Приемы интегрирования: замена переменной, формула интегрирования по частям.

4. Понятие об интегрировании рациональных дробей. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

5. Определенный интеграл.

6. Производная определенного интеграла с переменным верхним пределом по этому пределу.

7. Приложения определенного интеграла. Интегральная теорема о среднем.

8. Вычисление площади криволинейной трапеции.

9. Вычисление длины кривой.

10. Понятие о несобственных интегралах. Определения. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов. Признак сравнения.

1. Дифференциальные уравнения 1 порядка.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

3. Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка.

4. Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка. Уравнения Бернулли.

5. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами.

6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами. Частные решения.

Рекомендуемая литература

Основная:

1. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов, М.: ЮНИТИ, 2001.
2. В.А. Абчук. Математика для менеджеров и экономистов. СПб.:Изд-во Михайлова В.А., 2002 г.
3. В. И. Ермаков Сборник задач по высшей математике для экономистов. М.,ИНФРА-М, 2004.
4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., ВШ., 2003.
5. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., ВШ., 2003.

Дополнительная:

5. М.С.Красс, Б.П.Чупрынов, Основы математики и ее приложения в экономическом образовании, М.:Дело, 2001.

6. Шипачев B.C. Основы высшей математики. М.: Высш. шк.., 2001.

7. Шипачев B.C. Задачник по высшей математике. М.: Высш. шк.., 2001.

4. СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ (ГЛОССАРИЙ)

Матрицей размера , где - число строк, - число столбцов, называется прямоугольная таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются , где - номер строки, а - номер столбца

Если число столбцов матрицы равно числу строк , то матрица называется квадратной. Если , то матрица называется симметрической.

Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.

Квадратная матрица вида называется единичной матрицей. Единичная матрица обозначается символом

Матрица, все элементы которой равны , называется нулевой матрицей. Нулевая матрица обозначается символом

Суммой (разностью) матриц и называется матрица , элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц

.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число

Произведением матрицы на матрицу называется матрица , элементы которой могут быть вычислены по формуле

.

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй. Умножение матриц, вообще говоря, не коммутативно, т.е. даже если определены оба произведения. Однако, если для каких - либо матриц равенство выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Матрицу называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В другими словами, если . Матрица, транспонированная матрице обозначается символом

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле , где – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и – го столбца. Определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула

,

Определитель единичной матрицы равен 1. Для указанной матрицы А число называется дополнительным минором элемента матрицы . Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.

Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы называется дополнительным минором.

Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его дополнительный минор, умноженный на в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы. В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.

Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к одной строке другой строки;

3) перестановка строк;

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

5) транспонирование.

Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями. С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).

Если существуют квадратные матрицы Х и А одинакового порядка, удовлетворяющие условию где - единичная матрица того же порядка, то матрица называется обратной по отношению к матрице А и обозначается

Базисным минором матрицы порядка называется минор порядка , если он не равен нулю, а все миноры порядка и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. число совпадает с меньшим из чисел или .

Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, называются базисными. В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы. Элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы.

Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.

Системой m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных называется система

Решением системы m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных называется совокупность n значений неизвестных , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения - несовместной.

Если правая часть системы m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных равна нулю, то система называется однородной.

Система из линейно независимых решений линейной однородной системы называется фундаментальной системой решений. Фундаментальная система решений образует базис в подпространстве решений линейной однородной системы.

Общим решением линейной системы называется выражение, позволяющее вычислить все решения системы.

Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел и : , где (число называется мнимой единицей).

Комплексные числа называются сопряженными друг другу.

Пусть - множество элементов, для которых определены операции сложения и умножения на число, причём эти операции обладают следующими свойствами. Для любых элементов , , из множества выполняются законы

1) (коммутативность сложения);

2) (ассоциативность сложения);

3) во множестве существует нулевой элемент такой, что для любого элемента , (существование нулевого элемента);

4) для любого элемента существует элемент , такой, что (существование противоположного элемента);

5) .

Для любых действительных чисел любых элементов , из множества ;

6) ;

7) Распределительный закон ;

8) .

Множество называется линейным (векторным) пространством, а его элементы называются векторами.

Если операции сложения и умножения на число определены для действительных элементов, то линейное (векторное) пространство является вещественным пространством, если для комплексных элементов – комплексным пространством.

Говорят, что в линейном пространстве задано некоторое линейное преобразование А, если любому элементу по некоторому правилу ставится в соответствие элемент .

Преобразование А называется линейным, если для любых векторов и и любого выполняются равенства

Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует каждый элемент линейного пространства в себя .

Если в пространстве существуют векторы линейного преобразования , то другой вектор является линейной комбинацией векторов .

Если выполняется только при , то векторы называются линейно независимыми.

Если в линейном пространстве есть n линейно независимых векторов, а любые векторов линейно зависимы, то пространство называется n-мерным, а совокупность линейно независимых векторов называется базисом линейного пространства .

Если вектор переводится в вектор линейным преобразованием с матрицей А, а вектор в вектор линейным преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному преобразованию, переводящему вектор в вектор (оно называется произведением составляющих преобразований).

Пусть – заданное n - мерное векторное пространство. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число l, что выполняется равенство: . При этом число называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .

Если линейное преобразование А в некотором базисе , ,…, имеет матрицу , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни уравнения: .

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть - характеристическим многочленом линейного преобразования А. Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

Однородный многочлен второй степени относительно переменных и не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных и .

Однородный многочлен второй степени относительно переменных и

,

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных и .

Квадратичная форма от n неизвестных называется положительно определенной, если ее ранг равен положительному индексу инерции и равен числу неизвестных.

Вектором (на прямой, на плоскости, в пространстве) называется упорядоченная пара точек А, В, или направленный отрезок. Точка А называется началом вектора, точка В - его концом. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нуль-вектором. Векторы обычно обозначаются или двумя большими буквами со стрелкой или чертой наверху, или малой буквой также со стрелкой или чертой наверху: , , , . Первая из двух букв означает начало вектора, вторая - его конец.

Длина отрезка называется длиной или модулем вектора и обозначается или .

Два ненулевых вектора и называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Обозначение: ïê .

Коллинеарные векторы называются одинаково (противоположно) направленными, если (в случае принадлежности разным прямым) их концы лежат по одну сторону (по разные стороны) от прямой, соединяющей их начала, а в случае принадлежности одной прямой, если из двух лучей, определяемых этими векторами, один содержится (не содержится) в другом. Обозначение ­­ ( ­¯ ).

Два вектора и называются равными, если они одинаково направлены и имеют равные длины, т.е. если ­­ , ï ï=ï ï.

Отложить вектор от точки М -значит построить вектор , равный вектору .

Суммой векторов называется вектор , получающийся следующим построением: от произвольной точки А (прямой, плоскости, пространства) откладываем первый вектор , равный вектору , от конца вектора откладываем второй вектор , равный вектору и т.д.: суммой является вектор, соединяющий начальную точку А с концом последнего отложенного вектора . Операция сложения векторов ассоциативна и коммутативна, так как при любом порядке откладывания векторов - слагаемых мы придем к тому же самому результату.

Произведением действительного ненулевого числа l на ненулевой вектор называется вектор, обозначаемый или , удовлетворяющий следующим трем условиям:

Дата добавления: 2014-11-06