Поверхность напряжений Коши

Поверхность напряжения Коши дает геометрическое представление о напряженном состоянии в точке. Пусть в точке Р сплошной среды тензор напряжения имеет компоненту в декартовой системе координат (рис.2.2). Рассмотрим уравнение вида

, (2.7)

где по повторяющимся индексам идет суммирование. Уравнение (2.7) в системе представляет собой поверхность второго порядка с центром в точке Р. Знак при k ² выбирается таким образом, чтобы поверхность (2.7) была всегда действительной.

Рассмотрим площадку dS, содержащую точку Р, которая имеет вектор нормали и вектор напряжения . Радиус вектор , идущий в направлении (т.е. ) к произвольной точки поверхности (2.7) имеет компоненты . В точке Р нормальная составляющая вектора напряжений имеет величину:

. (2.8)

Замечание. Проекция вектора напряжений на плоскость площадки dS определяет касательную составляющую вектора напряжений , . Величину называют полным напряжением.

Геометрическое место точек , т.е. поверхность

(2.9)

называется поверхностью напряжений Коши. Из этого определения следует, что величина нормальной компоненты напряжения на площадке dS, перпендикулярной радиусу-вектору в точке Р, обратно пропорциональна квадрату расстояния вдоль () от точки Р до поверхности напряжений Коши, т.е. .

Проведем касательную плоскость к поверхности Коши в точке на поверхности. Вектор напряжений , действующий на площадке dS, такой, что выполняется условие , параллелен нормали к плоскости касательной к поверхности Коши в точке, радиус – вектор которой равен (рис.2.3.). Вектор напряжения параллелен вектору нормали к касательной плоскости. Þ .

Дата добавления: 2014-11-06