Предел функции в точке

Последовательности.

Определение 1. Функцию, заданную на множестве натуральных чисел , называют последовательностью.

Значения такой функции обозначают (или ) и называют членами последовательности, число называют номером члена . Последовательность обозначают

или или

Последовательность, множество значений которой состоит из одного элемента, называют стационарной.

Последовательность может быть задана с помощью формулы вида

,

выражающей через номер , например,

;

Такую формулу называют формулой общего члена последовательности. Для задания последовательности используют и рекуррентные формулы, т.е. формулы, выражающие -ый член последовательности через члены последовательности с меньшими номерами (предыдущие члены).

Определение 1. Под окрестностью символа - будем понимать множество вида

, где .

Под окрестностью вещественного числа будем понимать множество вида , где .

Под окрестностью символа + будем понимать множество вида , где .

Окрестность точки будем обозначать . Множество будем называть проколотой окрестностью точки . Очевидно , если или .

Свойства системы окрестностей точки.

1) Если , то ;

2) Если и — две окрестности точки , то также есть окрестность точки . Вообще, пересечение конечного множества окрестностей точки есть окрест­ность точки ;

3) Если , то

4) Существует убывающая последовательность окрестностей точки такая, что:

4.1)

4.2)

Действительно, если , то полагаем если то полагаем если , то полагаем

5) Если , то и такие, что и справедливо нера­венство .

Все свойства предельного перехода обусловлены этими свойствами окрестностей.

Определение 2. Пусть . Точка называется предельной точкой (точкой сгущения) мно­жества E, если для любой окрестности точки .

Смысл этого определения заключается в следующем: в любой окрестности точки найдется элемент множества E, отличный от . Раскроим это определение:

–предельная точка множества E, если E (- , ) для  ;

–предельная точка множества E, если E (,+ ) для  ;

–предельная точка множества E, если для .

Пример 1. Пусть . Тогда множество предельных точек есть

Пример 2. Единственной предельной точкоймножества натуральных чисел является

Определение 3. Пусть – предельная точка множества . Мы будем называть пределом функции в точке и писать , или , если для любой окрестности точки найдется такая окрестность точки , что лишь только .

Запишем это определение символами:

Говоря о пределе последовательности , принято писать , или , опуская знак ”+” перед символом .

Конкретизируем понятие предела функции в точке:

1) Тогда

2) Тогда

3) Тогда

4) Тогда

5) Тогда

6) Тогда

7) Тогда

8) Тогда

9) Тогда

Для последовательностей равенство означает следующее: лишь только

Дата добавления: 2014-11-06