Понятие функции

Рассмотрим множество элементов и множество элементов .

Определение1. Если каждому элементу множества поставлен в соответствие по определенному закону единственный элемент множества , то говорят, что задано отображение множества во множество .

Слова функция и отображение являются синонимами. Каждая из записей:

и означает, что есть отображение множества во множество .

Элемент , который отображение ставит в соответствие элементу , называется образом элемента при отображении или значением отображения в точке . При этом пишут

Множество называется областью определения функции , множество всех значений функции – множеством значений этой функции.

Определение 2. Если , то множество называется образом множества при отображении . Таким образом, область значений есть образ множества .

Определение 3. Графиком функции называется множество всех пар .

Определение 4. Говорят, что функция взаимно однозначна, если она разным элементам множества ставит в соответствие разные элементы множества .

Определение 5. Пусть , Функция называется возрастающей (убывающей), если

. (1)

Если в (1) неравенства справа нестрогие, то функция называется неубывающей (невозрастающей). Функция одного из указанных типов называется монотонной.

Очевидно возрастающая (убывающая) функция взаимно однозначна.

Определение 6. Пусть функция взаимно однозначна и множество ее значений есть . Функция, которая каждому элементу множества ставит в соответствие элемент множества , связанный с равенством , называется обратной по отношению к и обозначается .

Очевидно . Таким образом, можно говорить о паре взаимно обратных функций.

Определение 6. Пусть , . Функция , определяемая равенством

,

называется сложной функцией, или суперпозицией функций и .

Определение 7. Пусть , Функция называется:

1) четной, если ее область определения с каждой своей точкой содержит , и при этом ;

2) нечетной, если ее область определения с каждой своей точкой содержит , и при этом ;

3) периодической, если найдется , такое что ее область определения с каждой своей точкой содержит точки , и при этом . Число называется периодом функции .

Если на плоскости ввести декартову систему координат и каждую точку графика функции отождествить с точкой плоскости, координаты которой есть , то график четной функции будет симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции– симметричен относительно начала координат, а графики взаимно обратных функций будут симметричны относительно прямой .

Дата добавления: 2014-11-06