Теорема отсчетов в частотной области

Сигналы с полосовыми спектрами

Если сигнал S(t) непрерывный, имеет полосовой спектр шириной D F₁=f₁-f₂, то его можно представить в виде ортогонального разложения следующего вида:

где w₀ = 2p (f₁+f₂)/ 2 – среднее значение угловой частоты спектра сигнала; D t= 1/2D F₁; S(k/ D F₁); j (k/ D F₁) – отсчеты амплитуды и фазы сигнала в моменты t_k=k D t. Из формулы видно, что для сигналов с полосовыми спектрами необходимо через интервал дискретизации отсчитывать мгновенные значения не только амплитуд, но и фаз. Так, в частности, дискретизируют однополосные колебания – сигналы с полосовыми спектрами.

Основные особенности ортогонального разложения Котельникова следующие: базисная система включает совокупность ортогональных функций отсчетов, каждая из которых представляет собой модулированное по амплитуде колебание с несущей частотой w₀ и огибающей, определяемой функцией g_k(t); помимо отсчетов амплитуд берутся отсчеты фаз; если длительность сигнала Т, то число отсчетных точек n=T/ D t= 2 T D F₁.

В целом, все ортогональные разложения Котельникова – теоретическая основа большинства методов дискретной передачи непрерывных сигналов. Они позволяют с единых позиций рассматривать передачу как дискретных, так и непрерывных сигналов.

При анализе сигналов с непрерывными спектрами часто бывает необходимо представить сигнал с помощью частотных выборок спектральной функции , а не временных выборок функции S(t).

Для функции можно составить ряд, аналогичный предыдущему выражению, на основании взаимной заменяемости переменных t и w в паре преобразований Фурье. Это означает, что t следует заменить на w, 2W = 2p F на Т, D t= 1/2 F на Dw=2p/ T.

Таким образом, получаем

.

Расстановка частотных выборок иллюстрируется следующим рисунком.

Если ранее временной интервал между двумя соседними выборками не должен был превышать 2p/2W, то теперь частотный интервал не должен превышать 2p/T. При ширине спектра 2W, охватывающей область частот W<W<W, число выборок равно 2W/Dw = 2 FT, т. е. как и при представлении сигнала рядом.

В общем случае выборки являются комплексными числами, и в каждой отсчетной точке на оси частот должны быть заданы два параметра – действительная и мнимая части , или модуль и аргумент. Таким образом, общее число параметров получается вдвое большим, чем при временном представлении сигнала, когда выборки S(k/ 2 F) – действительные числа. Избыточность представления сигнала в частотной области легко устраняется, если учесть, что и являются комплексно-сопряженными функциями, так что задание одной из них однозначно определяет другую. Таким образом, спектр сигнала полностью характеризуется совокупностью комплексных выборок, взятых только в области положительных частот, и числом независимых параметров n= 2 FT, как и при представлении сигнала во временной области.

Дата добавления: 2014-11-06