P.S. Не забудьте прихватить с собой небольшой сувенирчик. Будем обмениваться подарками. 12 страница

Обратим внимание на- то, что в приближении (44,3) n rot п л? «rot* п = 0. Поэтому член вида n rot п в свободной энергии (а тем самым и холестерическое искажение структуры — § 43) в смектиках отсутствует вне зависимости от наличия или отсут­ствия среди его элементов симметрии центра инверсии.

Уравнения равновесия смектика получаются минимизацией полной свободной энергии по переменным р и и при дополнитель­ном условии JpdV = const, выражающем сохранение полной массы тела. Минимизируя разность

\F_ddV-k \pdV

(где % — постоянный множитель Лагранжа) по р, получим равен­ство

-i-(_P-p₀) + C-g- = A,

связывающее изменение плотности с деформацией слоев. Полагая, что р₀ есть плотность при ди/дг = 0, имеем Я. = 0, и тогда

р-Ро= -Рот-—-, т = -^-. (44,4)

Безразмерный коэффициент т связан с коэффициентом Пуас­сона о для «стержня», вырезанного из смектика в направлении оси г. Действительно,

р-ро_ у-уо _

ро V₀

(см. (1,6)), где и^—диШ, а и^, и_т —- компоненты тензора

деформации в плоскости х, у. Полагая = и_уу, имеем

_ 1 — т

^J) Подчеркнем, что директор п (понимаемый как избранное направление ориентации молекул в слоях) не является в смектиках (смектиках А) независи­мой гидродинамической переменной. Для переменной п в гидродинамике нема­тиков характерно, что однородный поворот поля п (г) во всем теле не связан с изменением энергии. Именно поэтому медленное изменение п вдоль тела свя­зано лишь с малым изменением энергии, последняя зависит только от производ­ных от п и может быть разложена по ним. В смектиках же всякий такой поворот меняет ориентацию относительно слоистой структуры и был бы связан со значи­тельным изменением энергии. Отметим, что в смектиках С, где директор на­клонен к нормали под некоторым определенным углом, однородный поворот направлений п вокруг нормалей с сохранением величины угла наклона снова не был бы связан с изменением энергии. Поэтому здесь снова появляется новая гидродинамическая переменная — проекция п на плоскость слоев.

U_xx — а ^игг

и, сравнив с определением (5,4):

о = (1—/п)72. (44,5)

При т = 0 коэффициент о принимает характерное для жидкости значение о = 1/2.

Исключив из (44,1) изменение плотности с помощью (44,4), получим свободную энергию, выраженную только через и:

где

В' = B—CVA. (44,7)

Варьируя полную свободную энергию по и, найдем теперь после нескольких интегрирований по частям:

б J F_d dV = - J F_t6u dV_t (44,8)

где

F, = PoB'-|j--/CiAiu. (44,9)

Очевидно, что F_z есть (отнесенная к единице объема) сила, дей­ствующая в направлении оси г в деформированном смектике при условии, что изменение плотности уже «подстроилось» под дефор­мацию.

В равновесии F_z — 0, так что смещение и удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению

_PoB'-g--/CiAi«=0. (44,10)

Если на тело действуют еще и приложенные к нему объемные внешние силы, то они должны быть добавлены к левой стороне уравнения (ср. (2,8)).

Отношение (/(₁/В'р₀)^1/2 имеет размерность длины и грубая его оценка есть: (KJB'p₀)¹'² ~ а, где а — период одномерной структуры (расстояние между слоями). Если смектик подвергнут деформации, существенно меняющейся в плоскости х, у на рас­стояниях ~/_х > а, то из (44,10) следует, что в направлении оси г деформация испытывает существенное изменение лишь на расстояниях /ц ~ 1\/а > /_х.

В качестве примера найдем гриновскую функцию уравнения (44,10), т. е. смещение и = G_zz (г) = G (г) в переменной точке г, вызванное единичной сосредоточенной силой, приложенной в точке г = 0 и действующей в направлении оси г (ср. задачу к § 8). Эта функция удовлетворяет уравнению

роВ' -g- - KxL\G + б (г) = 0. (44,11)

Совершая над этим уравнением преобразование Фурье (т. е. умножив его на er^iVx и проинтегрировав по d?x), находим для фурье-компонент функции G (г) выражение

где k\ = k\ 4- ky. Обратное фурье-преобразование дает искомую функцию в виде интеграла

е p^ikr d?k

G(r)=f г-ет- (44,12)

Этот интеграл логарифмически расходится при к ->- 0. Для прида­ния ему определенного смысла надо исключить иеремещение тела как целого, предположив закрепленной некоторую условно вы­бранную его точку, г = г₀; тогда в числителе подынтегрального выражения надо писать e^ikT—е^{кг° и расходимость устраняется.

Вернемся еще раз к вопросу о влиянии тепловых флуктуации на свойства смектиков — на этот раз на их упругие свойства. Наиболее определенным образом вопрос может быть поставлен следующим образом: как меняется под влиянием флуктуации де­формация, создаваемая приложенной к телу сосредоточенной си­лой, т. е. как меняется гриновская функция G (г)? Оказывается, что это изменение сводится к замене в выражении (44,12) к\ и к\ соответственно на

где а — величина порядка периода структуры ^х). В свою очередь такое изменение можно наглядно интерпретировать как изменение эффективных значений упругих модулей В' и /С_х при уменьшении характерных значений волнового вектора деформации (т. е. уве­личении ее характерной протяженности ~\1к). Мы видим, что эффективное значение В;_фф убывает при k_z -*■ 0 как [In (1/а&₂) И^/5, а Яхэфф растет при £_х->0 как [In (\lak_x) ]^2/5. Фактически, од­нако, эти эффекты могли бы стать существенными лишь при пра­ктически нереальных огромных размерах.

Укажем в заключение этого параграфа, что выражение (44,6) для упругой энергии смектика можно несколько обобщить вклю­чением в него некоторых членов более высокого порядка, но без введения при этом дополнительных коэффициентов.

Для этого заметим, что вклад в энергию, описываемый пер­вым членом в (44,6), физически связан с изменением расстояния а

^г) Grlnstein О., Pelcooits R. А. — Phys. Rev. Lett., 1981, v. 47, p. 856; Phys. Rev, 1982, v. A26, p. 915; E. И. К,щ.— ЖЭТФ, 1982, т. 83, с. 1376. При исследовании необходимо учитывать также и члены третьего и четвертого порядков по и в разложении свободной энергии.

■< " ■ ■■■■■ —^[76] - - ". -- >

между слоями; производная ди/дг совпадает с относительным изме­нением этого расстояния при смещении и_г = и, и потому этот член можно записать в виде V» Ро#' (§о/а)^а. Но расстояние между слоями может измениться не только из-за зависимости смещения и от координаты 2, но и от его зависимости от х и у. Это легко по­нять, представив себе все слои одновременно повернутыми, ска­жем, вокруг оси у на угол 8 таким образом, что величина периода структуры вдоль оси 2 остается равной а; расстояние же между слоями (измеренное по направлению нормалей к ним) оказывается при этом равным a cos 9. При малых углах 8 изменение расстоя­ния между слоями

_чбя = a(cos 8 — 1}я* —а0²/2.

Поскольку в то же время смещение и при рассматриваемом пово­роте есть и — const +• х tg 8 да const -f- хЪ, то

да 1 / ди \2

а * 2 V, дх } *

В таком виде это выражение справедливо при любой зависимости и от х; если же и зависит также и от у, то вместо (ди/дх)^% надо писать (Vjw)⁸.

Таким образом, с учетом описанного эффекта свободную энергию (44,6) надо писать в виде г, р₀В' г ди 1 / ди \2 1 / ди \2-|2 к

Это выражение используется в задаче к этому параграфу. Задача

Слой смектика (толщины А) с плоским» границами, параллельными пло­скостям'слоистой структуры, подвергнут однородному растяжению вдоль пер­пендикулярной ему оси, г. Найти критическую величину растяжения, за которым слоистая структура смектика становится неустойчивой по отношению к попереч­ным возмущениям (W. Helfrieh, 1971)¹),

Решение. Однородное растяжение означает деформацию и — уг, где постоянная у > 0. Для исследования устойчивости полагаем и = уг + би (х, г), где би — малое возмущение, удовлетворяющее граничным условиям -би = 0 при г = ±ft/2 (плоскость *, у выбрана посередине слоя). С точностью до членов второго порядка, полная упругая энергия возмущения (отнесенная к единице длины вдоль оси у):

1^.^1{в-_е.(^.)'-в^у ₊ ^)1^ со

(член с у д&и/дг выпадает при интегрировании по dz в силу граничных условий). Будем рассматривать возмущения вида

би = const-cosfe_z2-cosk_sx, k_b = лп/h, n = 1, 2,,„

(поперечная модуляция слоистой структуры). Условие устойчивости структуры состоит в положительности энергии (1). Заменив все интегрируемые множители sin⁴» cos² их средними значениями 1/2, получим это условие в виде

В'р₀(Щ-ук_х) + К₁¥_х>0.

Граница устойчивости (по мере увеличения у) определяется появлением веще­ственного корня k\ трехчлена в левой стороне этого неравенства (комплексные значения k_x не удовлетворяют условию конечности возмущения во всей пло­скости х, у). Первое такое появление происходит для возмущения.с я = 1. Для вето находим критическое растяжение и соответствующее значение k_x = й_кр ^[77]):

2я / Кг у/*. я /р„В' \V⁸

§ 45, Дислокации в смектиках

Понятие дислокации в смектике имеет тот же смысл, что и в обычном кристалле. Разница состоит лишь в том, что ввиду одно­мерной (вдоль оси г) периодичности микроскопической структуры смектиков вектор Бюргерса дислокации в них всегда направлен по оси г, а по величине равен целому кратному от периода а структуры.

С учетом этого замечания для деформации вокруг дислокации в смектике остается справедливой полученная в § 27 формула (27,10) — при надлежащем определении тензора модулей упругости hhim> Для этого введем тензор напряжений в смектике <j_tk в соот­ветствии с обычным определением, т. е. по формуле

F_z = d_ho_2ki (45,1)

где F_t— объемная «сила внутренних напряжений» (44,9). Вве­дем также тензор деформаций, отвечающий смещению щ = и; отличные от нуля его компоненты!

— _ 1 ди _ 1 ди _(Аг

™~ дг * ^xz Т~дГ' ^и«* 2~1£Г"' * ' '

Сила (44,9) может быть представлена в виде (45,1), если выразить тензор напряжений через тензор деформации формулами a_ih =

— hklmPtm С ^?)

^zxzz — P&S j f^zxzx ⁼ ^zyzy — — ^ClA_L> "^zxzy —

~ hxzz = hyzz = 0; (45,3) некоторые из этих компонент — операторы.

Формула (27,10) для смещения и_г — и принимает вид

и (г) = - W J rn~-G{t-г') df, (45,4)

где G = G_zz —функция (44,12).

Рассмотрим два частных случая дислокаций — прямолиней­ные винтовую и краевую. В первом случае ось дислокации совпа­дает с направлением вектора Бюргерса, т. е. с осью г. Этот слу­чай вообще не требует каких-либо новых вычислений. Заранее ясно, что деформация и будет зависеть только от координат х, у. Но в плоскости х, у среда изотропна. Поэтому можно сразу вос­пользоваться результатом задачи 2, § 27, согласно которому

и = 6cp/2jt, (45,5)

где ф — полярный угол радиус-вектора в плоскости ху.

Обратимся к более сложному случаю* краевой дислокации (P. G. de Gennes, 1972). В этом случае ось дислокации перпен­дикулярна вектору Бюргерса; пусть она совпадает с осью у. Тогда в качестве поверхности S_D в интеграле (45,4) можно взять правую полуплоскость х, у, а вектор п нормали к ней будет лежать вдоль отрицательного направления оси г. Из всех компонент вида h_zkzz отлична, от нуля только = 5'р„, так что фор­мула (45,4) принимает вид

оо оо

и (г) = ЬВ'_Ро j j ^т%7^Т,) dx' dy\

—оо 0

Подставляем сюда функцию G из (44,12). Дифференцирование по z дает множитель ik_z, интегрирование по dy дает 2яб (&„), б-функция устраняется затем интегрированием по dk_y. В инте­грале

| e~'^ikx*'dx' о

для обеспечения сходимости надо понимать k_x как k_s —i0. Та­ким образом, после выполнения интегрирований по dx'dy'dk_y получаем

оо

где

"(^Г)=-^& J k_x-i0 ⁷fe» ^"йГ»

e-OO

oo

Ulb f k_ztxp(ik_zz) dk_z,_a_ Ki

Последний интеграл вычисляется путем замыкания контура интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью в верх»-

§ 46 J

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СМЕКТИКОВ

ней (при z > 0) или нижней (при г < 0) полуплоскости комплекс­ной переменной k_z и взятия вычета в полюсе k_z = i%k_x или k_z = = —ikk\:

/_=±_|_ехр(-^|2|),

где верхний или нижний знак относятся соответственно к z > 0 и г <5 0. Таким образом, смещение

оо

и(х, г) = ± J ехр {— Щ |г| + ik_xx\ _k^._Q. (45,6)

—-оо

Более интересно, однако, не само смещение, а его производные по координатам. Для производной по х имеем

"!г^в±Т£- |ехр{-^!1г| + ад^ =

:------ ОО

^==±4(,Я)^&_г|)^^еХР{-ВД-}- ⁽⁴⁵'⁷⁾

Согласно (45,6) производная по г связана с производными по х формулой

ди, д²и

откуда

ди Ьх (х^% \ _{/лС 0}ч

-5" = ~в_(яХ)'/»|«|^ ^еХр Г 4ХТ7Г)• ⁽⁴⁵'⁸⁾

Деформация быстро (экспоненциально) стремится к нулю при |*| ->- оо и гораздо медленнее (по степенному закону) при \z \ оо.

§ 46. Уравнения движения смектиков

Механика смектиков имеет то общее с механикой нематиков, что в обоих случаях речь идет о гидродинамике с дополнитель­ными (по сравнению с обычной жидкостью) переменными. В слу­чае нематиков этой переменной является директор п, а в случае смектиков — смещение и слоев (Р. С. Martin, О. Parodi, P. S. Pe­rsian, 1972). Последнее требует пояснения. Скорость опре­деляется в гидродинамике как импульс единицы массы веще­ства. Ее компонента v_z отнюдь не обязана совпадать в данном случае с производной duldt. Перенос массы (в направлении оси г) может осуществляться в смектике не только за счет деформиро­вания слоев, но и путем «просачивания» вещества сквозь остаю­щуюся неподвижной одномерную структуру (подобно описанному в § 43 аналогичному эффекту в холестериках). Это явление не специфично для жидких кристаллов, аналогичное явление воз­можно и в твердых кристаллах, где оно связано с диффузией дефектов (см. примечание на с. 124). Но в смектиках оно в прин­ципе неустранимо ввиду большей «размытости» периодической структуры (как бы содержащей значительное число дефектов — вакансий) и большей подвижности молекул.

При адиабатическом движении каждый элемент жидкости переносит свое постоянное значение энтропии s (отнесенной к еди­нице массы); если в какой-либо начальный момент времени энтро­пия s была постоянна по всему объему среды, она останется по­стоянной и в дальнейшем. Поскольку условие s == const спра­ведливо именно для энтропии единицы массы, будет удобным относить сначала к единице массы также и внутреннюю энергию среды; обозначим ее через е. Для деформированного смектика эта величина выражается формулой, аналогичной (44,1):

e_d = е - e₀(s) = -^-(р - р₀)* + -|-(р - р₀) +

+4(-!-)²+^(^Д^ (46,1)

где Ро — плотность недеформированной среды; коэффициенты А, В, С здесь не совпадают с таковыми в (44,1) — они представляют собой теперь адиабатические значения модулей упругости (и пред­полагаются выраженными в функции от s), а не изотермические, как в (44,1); что касается коэффициента Къ ^{т0 его} изотермическое и адиабатическое значения совпадают по тем же причинам, что й для нематиков (см. конец § 36) *).

Единица массы вещества занимает объем 1/р. Поэтому термо­динамическое соотношение для дифференциала энергии:

dz = Tds - pdV = Tds + j_rdp.

Давление в среде можно, следовательно, найти дифференцирова­нием выражения (46,1)

P = P^%(lfc)_s™^A(p-Po) + PoC~-. (46,2)

Дальнейшее построение уравнений движения смектиков очень близко по используемой последовательности операций произве­денному в § 40 выводу уравнений движения нематиков. Для уси­ления этой аналогии снова (как и в § 40) будем пользоваться

') Строго говоря, в (46,1) надо было бы писать ди/дг— 6^ (s) вместо ди1дг, где о₀ (s) — значение дшдг в отсутствие внешних сил при энтропии s. Рассма­тривая движение при заданном $, мы можем выбрать в качестве недеформирован­ного именно это состояние и положить б₀ (s) = 0. Подчеркнем, однако, что после этого уже нельзя, например, дифференцировать выражение (46,1) по s с целью определения температуры по формуле Т = (de/ds)_pl

§ 46] уравнения движения смектиков 239

энергией Е — ре и энтропией S = ps, отнесенными к единице объема.

Уравнение непрерывности имеет обычный вид [78])

-^+div(pv) = 0. (46,3)

Динамическое уравнение для скорости должно иметь вид

9-%h = d_ko_lk (46,4)

dt

(ср. (40,7)); вид тензора напряжений будет установлен ниже.

Еще одно уравнение связано с наличием дополнительной переменной и выражает собой отличие v_z от du/dt:

= (46,5)

Величина N представляет собой скорость «просачивания» — скорость жидкости относительно одномерной решетки; она имеет кинетическую природу, и ее выражение будет установлено ниже.

Наконец, уравнение для энтропии, учитывающее диссипатив-ные процессы в среде, имеет вид (40,8)

^__+div^_{5v +} ^)₌^.. (46,6)

Как и в § 40, вычисляем производную по времени от полной энер­гии единицы объема среды, фигурирующую в уравнении закона сохранения энергии (40,11). Отличие возникает только в виде последнего члена в (40,12). Имеем теперь ⁸)

([79])р._в-№Ьт-5-+^^«)(^4г)-

--a-fr+divi-.-} (46,7)

(как и в § 40, члены с полными дивергенциями не выписываем), где введено обозначение

■'^h- 4 ([80]&),.. ~ + ^ _ _кАи.

(46,8)

Если рассматривать h как z-компоненту векторной величины h = nh (n — единичный вектор вдоль оси г), то легко убедиться, что этот вектор может быть представлен в виде дивергенции

¹) Хотя мы интересуемся в конечном счете лишь линеаризованными урав­нениями движения, мы не производим линеаризации на каждом этапе выводов, так как это усложнило бы запись формул.

Ы=д_ко%, (46,9)

где симметричный тензор o\k имеет следующие компоненты:

(Г) V JL dU (Г) tr д dU (Г) (\ охг = - KiA± -jrr-t аУ = - /CiA_x -д-, a_xJ = 0.

(46,10)

Подставив в (46,7) из уравнения (46,5) и снова выделив в одном из членов полную дивергенцию, пишем

№)„. _s = -M-v₍ д_ка\^гЦ + div {• • •} =

=-hN+ v«с|? + div {«•■}.

Это выражение отличается от (40,17) лишь смыслом обозначений Ли N ^х). Поступая далее также, как это было объяснено в § 40, получим прежнее выражение (40,21).для дисвипативной функции

2R = ei_kv_ik + Nh--±VT_t (46,11)

где o'ik — вязкая часть тензора напряжений:

о л = - рЬ_1к + о& + oik. (46,12)

Динамическое уравнение (46,4) с этим тензором напряжений принимает после линеаризации (опускаем член (vv) v) вид

Р° 11Г = -^diP + ^ht + ^dk°'^ik'(⁴⁶'¹³)

где вектор h = nh определен выражением (46,8).

Вязкий тензор напряжений a'ik~, тепловой поток q и скорость просачивания Л/ («термодинамические потоки») обычным образом представляются выражениями, линейными по «термодинамическим силам» — v_lh/T, Т~² d_tT, —hIT, причем коэффициенты в этих выражениях связаны друг с другом соотношениями, следующими из принципа Онсагера. Не повторяя заново соответствующих рассуждений (ср. §§41, 43), напишем результат. При этом будем считать, что (как это обычно имеет место) смектик обладает цен­тром инверсии (до сих пор это еще не предполагалось). Тогда вязкий тензор напряжений дается той же формулой (41,4), что и для нема­тиков, причем под п следует понимать направление оси г. Тепловой поток и скорость просачивания даются выражениями

^а [81] ^{= —} + V^h> Ч± = —»«xv\iT, N = X_ph — -y--^-, (46,14)причем положительность диссипативной функции требует выпол­нения неравенств

«х. К>°> Р [82] <ТХ_Рх_п. (46,15)

Явление просачивания делает возможным существование в смектиках эффекта, подобного описанному в конце § 43 для холе­стериков. Если периодическая структура смектика каким-то способом закреплена в пространстве, возможно существование однородного стационарного течения вдоль оси г. Из (46,13) сле­дует, что для такого течения dpldz = ft, а из (46,5) с N из (46,14):

^-У^-л-р-^-. (46,16)

К сказанному выше о кинетических коэффициентах смектиков надо сделать важную оговорку. Уже упоминавшаяся в § 45 рас­ходимость флуктуации в смектиках в особенности сильно про­является именно в кинетических явлениях, что может сущест­венно изменить их характер [83]).

§ 47. Звук в смектиках

В обычных жидкостях (а также в нематических жидких кри­сталлах) существует лишь одна ветвь слабозатухающих звуковых колебаний — продольные звуковые волны. В твердых кристаллах и аморфных твердых телах существуют три звуковые (акустиче­ские) ветви линейного закона дисперсии колебаний (§§ 22, 23). Одномерные кристаллы — смектики — и здесь занимают проме­жуточное положение: в них имеются две акустические ветви (P. G. de Gennes, 1969). Не интересуясь здесь коэффициентами затухания этих волн, и имея в виду лишь определение скоростей их распространения, пренебрежем в уравнениях движения всеми диссипативными членами. Полная система линеаризованных урав­нений движения складывается из уравнения непрерывности

^-4-pdivv = 0 (47,1)

(здесь и ниже индекс у р₀ опускаем; р', р' — переменные части плотности и давления), уравнения (46,5), которое сводится к

* = (47,2)

■—просачивание отсутствует, и динамического уравнения (46,13):

причем, согласно (46,2),

р' = Лр' + рС-|-. (47,4)

В выражении (46,8) для h следует опустить член Ki&xii, содер­жащий производные высших порядков, — он оказался бы слиш­ком высокого порядка по волновому вектору k, который для зву­ковых волн следует рассматривать как малую величину;

Л-рВ^+С^. (47,5)

В реальных смектиках величины В и С обычно малы по срав­нению с Л. В этих условиях, которые мы и будем предполагать, природа обеих акустических ветвей в смектиках становится более наглядной.

Если пренебречь в уравнениях движения всеми членами, содер­жащими малые коэффициенты В и С, то они сведутся к уравне­ниям движения обычной жидкости с уравнением состояния р' = ~£ Лр', т. е. с сжимаемостью (др'1др')_а = Л. Соответствующие этому случаю колебания представляют собой обычные звуковые волны — продольные волны сжатия и расширения среды. Ско­рость их распространения

c_t = AW (47,6)

и (в рассматриваемом приближении) не зависит от направле­ния.

Фазовая скорость с_а волн второй акустической ветви, как мы увидим, мала по сравнению с с_х\ afk = с_% < с_х. Поэтому по отно­шению к этим колебаниям среду можно считать несжимаемой (ср. примечание на стр. 220). Уравнение непрерывности сводится при этом к условию несжимаемости div v = 0; в (47,5) опу­скаем второй член, так что уравнение (47,3) принимает вид

РТГ^в-*р' + прЯ-|г. (47,7)

Продифференцировав z-компоненту этого уравнения по z и под­ставив в него v_z — du'fdt, получим

№ _ ay, р ffl6

где б = ди/дг. Применив же к уравнению (47,7) операцию div, в силу условия несжимаемости получим

Наконец, исключив из этих двух уравнений р', получим одно уравнение для величины б:

^rU-B^-S + SrUy («.8)

§ 47]

звук в смектиках

Зависимость смещения и от координаты г означает, что ме­няются расстояния с между соседними слоями: 6а = (ди/дг) а сама же величина б = ди/дг дает относительное изменение этого расстояния. Таким образом, уравнение (47,8) описывает распро­странение поперечной (kv = 0) волны, в которой испытывают Коле­бания расстояния между слоями при постоянной плотности. Для плоской волны, в которой б со exp {ikr — Ш}, из (47,8) имеем

= Bk\k%

откуда находим скорость

с_ъ = В¹'² sin 6 cos 9, (47,9)

где,9 — угол между к и осью г. Эта скорость анизотропна, причем обращается в нуль для распространения как вдоль оси г (9 = 0), так и в плоскости х, у (9 = я/2). При углах, близких к этим значениям, возрастает роль диссипативных эффектов. (См. за­дачи 2 и 3 к этому параграфу.)

Задача

1; Найти фазовые скорости акустических воли в смектиках при произ­вольном соотношении между модулями А, В, С,

Решение, Продифференцировав уравнение, (47,3) по / и исключив про­изводные dp'/dt и duldt с помощью (47,1—2), получим уравнение

^-^v.-cv^-c^div. + b^].

Для плоской волны, в которой v со exp (ikr — Ш), это уравнение сводится-к соотношению

- co²v = - Ак (kv) + Ckk_zv_z + n [Ck_z (kv) - ВЩр_г], (i)

Пусть волновой вектор к расположен в плоскости х, г. Тогда из (1) следует, что и скорость v находится в той же плоскости, а х- и г-компоненты дают систему двух уравнений

v_z [с² — (А + В — 2С) cos² 6] + v_x (С — А) sin 9 cos в = 0,

v_z (С — A) sin 8 cos в + и_я [с² — A sin² 8] = 0,

где в = a/k — скорость волны, а 6— угол между к и осью г. Приравняв нулю определитель этой системы, получим дисперсионное уравнение

с* — с² {А + (В — 2С) cos² 8] + (АВ — С²) sin² в cos² 9 = 0.

Больший и меньший корни этого квадратного (по s²) уравнения определяют ско­рости ct и с₂. В частности

Ч Л^1/2 при 8= п/2,

^{1 =} i (А + В — 2С)¹'² при 8 = 0.

Скорость же сц в этих направлениях обращается в нуль,

2. С учетом диссипации определить закон дисперсии второй акустической ветви при распространении в плоскости слоев (v = я/2).

Решение. В условиях задачи скорость v направлена по оси г, а все величины зависят от х. Проецируя уравнение (46,13) на ось г, получаем

—' ('соро = — Kxk⁴u + iko'_2Xt (2)

С помощью (41,7) находим

о_гх — —j - V.

Легко проверить, что ввиду малости параметра Kip/f\l (^СР- ^с (42,7)) можно пре­небречь левой стороной (2), а эффекты просачивания при малых k несущественны, так что v = —/сои. Окончательно получаем закон дисперсии:

tco =

S. То же для распространения перпендикулярно плоскости слоев (0= 0).

Решение. Условие несжимаемости приводит в этом случае к тому, что v = 0 и движение смектика происходит только путем просачивания, Из (46,5) и (46,14) имеем тогда

ди» р д²и

или

to = XppBk*.

Мы пренебрегли в (46,14) членом с градиентом температуры. Это возможно, если температура релаксирует быстрее, чем смещение а, т. е. если ц ^ Х_ррВ, В этом случае, однако, нужно понимать под В изотермический модуль упругости.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ»')

Бигармоническое уравнение 31, 37

Вектор Бюргерса 150

— директора нематика 190
смектика 230

— смещения 9 Волны изгиба 139

— Релея 134

— сдвиговые 219

Геликоидальная структура 224 Грина тензор 41, 44

------ смектика 232

Групповая скорость 132

Деформация диска 71 и далее

— цилиндра 34 и далее

— шара 33 • и далее Дисклинации устойчивость 203, 206 Дислокаций плотность 164

Дата добавления: 2014-11-07