![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
P.S. Не забудьте прихватить с собой небольшой сувенирчик. Будем обмениваться подарками. 9 страница
г) По английской терминологии: splay, twist или bend. верхностями; г, ф, г — цилиндрические координаты с осью z оо оси цилиндров. Если директор п в каждой точке среды направлен вдоль радиуса (п, = 1, гсф = пг = 0), то деформация представляет собой поперечный изгиб (div п = Mr). Если п направлен в каждой точке вдоль окружности с центром на оси z (пф = 1, я, =*= пг. — 0), то мы имеем чистый продольный изгиб (rot2n = = 1/г). Наконец, если по толщине (ось г) плоскопараллельного слоя нематика направление директора меняется по закону л, = cos ф (г), пу *= sin ф (z), пг = 0, мы имеем дело с чистым кручением (п rot п = —ф' (г)). Стенки, ограничивающие занимаемый жидкокристаллической средой объем, и даже ее свободная поверхность оказывают на среду ориентирующее воздействие (об этом будет говориться подробнее ниже). Поэтому уже само наличие граничных поверхностей приводит, вообще говоря, к деформированию неподвижной жидкокристаллической среды. Возникает вопрос о нахождении уравнений, определяющих эту деформацию; другими словами — об уравнениях, определяющих равновесное распределение п (г) при заданных граничных условиях (J. L. Ericksen, 1966). Для этого исходим из общего термодинамического условия равновесия — минимальности полной свободной энергии тела, т. е. интеграла J FdV, представляющего собой функционал от функции п (г). Поскольку вектор п единичный, этот'функционал должен быть минимален при дополнительном условии n2 = 1. следуя известному методу неопределенных множителей Лагранжа, надо потребовать равенства нулю вариации бД/7 i-4r)n2}dV, (36,3) X (г) —некоторая функция. Подынтегральное выражение зависит как от самих функций nt (г), так и от их производных. Имеем[40]) 4FdV=l{^8nt+j^d*4dV=
Второй член — интеграл по поверхности тела — существен лишь для нахождения граничных условий. Полагая пока бп = 0 на границах, находим для вариации полной свободной энергии 6 JFdV = - j H6ndV, (36,5) где Н — вектор с компонентами Н^дкЩ1--^., пи = щ^. (36,6) Величина Н играет роль поля, стремящегося «выпрямить» направления п во всем объеме жидкого кристалла; его называют молекулярным полем. Уравнение же (36,3) принимает вид J(H-|-in)8ndV = 0, откуда ввиду произвольности вариации бп находим уравнение равновесия в виде Н = —Хп. Отсюда X = —Нп, т. е. продольная компонента этого уравнения удовлетворяется за счет выбора X. Поэтому фактически условие равновесия сводится к требованию коллинеарности векторов Н и п в каждой точке среды; продольная же компонента Н не имеет физического смысла. Таким образом, условие равновесия можно записать в виде h= Н-п(пН) = 0, (36,7) введя вектор h, для которого nh = 0. Найдем явное выражение молекулярного поля, соответствующего свободной энергии (36,1). Для проведения дифференцирования по dhnt замечаем, что div п = дгяг, го1гп = еш dknt дШТ-**' дШдт1П~еш- В результате получим для тензора nhi выражение пм = КАп div n + К2 (n rot п) щет -f К3 Р rot п] п]{ еш. (36,8) Дальнейшее дифференцирование, согласно определению (36,6), приводит к следующей довольно сложной формуле для молекулярного поля: Н = V(Ki div n) - \К2 (n rot n) rot n + rot (K2 (n rot n) n)[ + + \KS [[n rot n] rot n] -f rot [#3n [n rot n]]}. (36,9) Граничные условия к уравнениям равновесия не могут быть установлены в общем виде: они зависят не только от упругой энергии (36,1), но и от конкретного рода взаимодействия жидкости с ограничивающей ее стенкой; эта поверхностная энергия должна была бы быть включена в полную свободную энергию, минимальность которой определяют условия равновесия. Фактически эти поверхностные силы обычно настолько велики, что именно они устанавливают направление п на границе, не зависящее от характера деформации в объеме образца. Если граничная твердая поверхность анизотропна, то это направление оказывается вполне определенным (или одним из нескольких вполне определенных). Если же поверхность изотропна (сюда относится и случай свободной поверхности), то оказывается заданным лишь угол между п и нормалью к поверхности. Если этот угол равен нулю, то п имеет вполне определенное направление — по нормали к поверхности. Если же угол отличен от нуля, то допустимые направления п заполняют коническую поверхность с определенным углом раствора. В этой последней ситуации необходимо поставить дополнительное граничное условие. Оно устанавливается требованием обращения в нуль поверхностного интеграла в (36,4) для вариаций бп, представляющих собой повороты п вокруг нормали в каждой точке поверхности с сохранением угла наклона к ней (т. е. вариаций, не меняющих поверхностной энергии). Такая вариация имеет вид бп = [vn ] бф, где v — единичный вектор нормали, а бф — произвольный (в каждой точке поверхности) угол поворота. Написав также элемент поверхности в виде di = vdf, получим *Wimnrtnvmv^ df = О, откуда ввиду произвольности бф следует граничное условие rtft*eimn/invmvft = 0, (36,10) или, направив ось z вдоль v: nzxny — Щупх = 0. (36,11) Наконец, сделаем еще следующее замечание по поводу фигурирующих в (36,1) модулей упругости. Поскольку они введены как коэффициенты в свободной энергии, ими определяются изотермические деформации тела. Легко видеть, однако, что те же коэффициенты определяют в нематиках также и адиабатические деформации. Действительно, мы видели в § 6, что для твердого тела различие между изотермическими и адиабатическими модулями возникает в силу наличия в свободной энергии члена, линейного по тензору деформации. Для нематиков аналогичную роль мог бы играть член, линейный по производным dhnt. Такой член должен был бы быть скаляром и к тому же инвариантным по отношению к изменению знака п. Очевидно, что такой член построить нельзя (произведение n rot п — псевдоскаляр, а единственный истинный скаляр div п меняет знак вместе с п). По этой причине изотермические и адиабатические модули нематика совпадают друг с другом (подобно тому, как это имеет место для модуля сдвига изотропного твердого тела —§6). Эти рассуждения можно сформулировать и несколько иначе: в отсутствие линейного члена квадратичная упругая энергия (36,1) является первой «малой поправкой» к термодинамическим величинам не- деформированного тела; в силу «теоремы о малых добавках» (см. V, § 15), будучи выражена через соответствующие термодинамические переменные (температуру или энтропию), она одина^ кова для свободной энергии и для внутренней энергии.
§ 37. Прямолинейные дисклинации в нематиках Равновесному состоянию нематической среды при заданных граничных условиях не обязательно соответствует всюду непрерывное распределение п (г), в котором вектор п имел бы в каждой точке вполне определенное направление. В механике нематиков необходимо рассматривать также и деформации с полями п (г), содержащими особые точки или особые линии, в которых направление п оказывается неопределенным. Линейные особенности называют дисклинациями. Рис. 27
Возможность возникновения дисклинации можно проиллюстрировать простыми примерами. Рассмотрим нематик в длинном цилиндрическом сосуде, причем граничные условия требуют перпендикулярности п поверхности сосуда. Естественно ожидать, что в равновесии вектор п в каждой точке будет лежать в плоскости поперечного сечения цилиндра и направлен по радиусу в этом сечении (как это изображено на рис. 27, а); очевидно, что на оси цилиндра направление п будет при этом неопределенным, так что эта ось будет дисклинацией. Если же граничные условия требуют параллельности направления п стенке сосуда в плоскостях его поперечного сечения, то установится распределение с векторами п, лежащими везде вдоль концентрических окружностей в этих плоскостях с центрами на оси цилиндра (рис. 27, б); и в этом случае направление п на оси будет неопределенным. Эти два примера — простые частные случаи прямолинейных дисклинации. Мы рассмотрим общую задачу о возможных распределениях п (г) в прямолинейных дисклинациях в неограниченной нематической среде. Очевидно, что распределение п (г) в такой дисклинации не зависит от координаты вдоль ее длины, так что достаточно рассматривать его в плоскостях, перпендикулярных оси дисклинации. Будем считать, что и сам вектор п лежит везде в этих плоскостях. Таким образом, мы имеем дело с плоской задачей механики нематиков. Некоторые общие свойства решения этой задачи могут быть выяснены уже из общих соображений, без рассмотрения конкретных уравнений равновесия. Введем цилиндрическую систему координат г, ц>, г с осью г вдоль оси дисклинации. Как уже отмечено, распределение п (г) не зависит от координаты г. Оно не "А ^ может зависеть также и от коорди-Ая^"^ наты г, поскольку в поставленной >6 задаче (дисклинация в неограниченной среде) нет никаких параметров с раз-мерностью длины, с помощью которых
Рис. 28 (каковой является п (г)) функция пе- ременной г. Таким образом, искомое распределение зависит только от угловой переменной: n = п (ср). Введем угол между п и радиус-вектором, проведенным в плоскости г = const в данную точку (рис. 28); компоненты двухмерного (в этой плоскости) вектора п: nr — cos «ф = sin ч>. Полярный угол ф отсчитывается от некоторого избранного направления в плоскости — полярной оси. Введем также угол д между п и полярной осью; очевидно, что 0 = ф + г|>. Искомое решение определяется функцией гр (ф). Оно должно удовлетворять условию физической однозначности — при изменении переменной ф на 2л (т. е. при обходе вокруг начала координат) вектор п должен остаться неизменным с точностью до знака {изменение знака допустимо ввиду физической эквивалентности направлений п и —п). Это значит, что должно быть О (Ф + 2л) = Ф (ф) + 2лл, где п — целое или полуцелое положительное или отрицательное число (значение п = О отвечает «недеформированному» состоянию n = const). Для функции -ф (ф) = ■б — ф имеем отсюда Ф (Ф + 2л) = 2л (п — 1) + ф (ф). (37,1) Число п называют индексом Франка дисклинации. Уравнение равновесия (которое будет выписано ниже) определяет производную dtyldy и имеет вид
его правая сторона не содержит независимой переменной ф — как следствие того, что уравнение должно быть инвариантно по отношению к любому повороту всей системы (нематика) как целого вокруг оси 2 (т. е. по отношению к преобразованию q> -*■ Ф + Фо); функция / (ijj) периодична с периодом я, поскольку значения f и ф -+- я физически тождественны. Отсюда
4> = jf(x)dx, (37,3) о где постоянная интегрирования выбрана так, что ф = 0 при <р = 0. Подставив это выражение в (37,1), найдем, что л f = -i-|/W^ = -^-r, (37,4) о при пф\ (черта означает усреднение по периоду функции). Отсюда можно сделать важное заключение о симметрии дисклинации: при повороте всей картины на угол ср0 = 2я/2 (п — 1) вокруг оси 2 углы ф меняются на я, т. е. все распределение остается неизменным. Действительно, с учетом периодичности функции / (ф) это преобразование приводит к тождеству ф-(-я i)j Ф + -^ГТ= | Hx)dx = \f{x)dx+ | f(x)dx = V + fn. о о м> Таким образом, в результате одного лишь требования однозначности ось z автоматически оказывается осью симметрии (Ст) порядка т = 2|п — 11, пф\. (37,5) «Линии тока» директора определяются как линии, в каждой точке которых элемент длины dt(dlr = dr, dlv = г d<f) параллелен п. Дифференциальное уравнение этих линий: dydlr = пф/пг, т. е. ■aftr-tg*. (37,6) Отсюда видно, в частности, что среди линий тока имеются прямолинейные, на которых \|з = рп (р — целое число). Эти линии представляют собой 21 п — 11 радиальных лучей Ф = Плоскость поперечного сечения дисклинации делится этими лучами на т одинаковых, повторяющих друг друга секторов. Перейдем к конкретному построению решения для нематика, энергия деформации которого дается формулой (36,1)х). Для плоского распределения имеем: div"= -т + "Г" = 4"cos* <[41]+ +')»
n rot n = О (t|>' = dty/dqi). В свободной энергии остаются только члены с Кг и К, [42] ): JFdrdrd<? =Щ«±j(j _acosЩ(1 + [43]),a=. Интеграл no dr логарифмически расходится. В реальных задачах он обрезается сверху на некоторой длине R порядка величины размеров образца. Снизу же интеграл обрезается на расстояниях порядка величины молекулярных размеров а, где перестает быть применимой макроскопическая теория. При определении интересующего нас решения на расстояниях а <^ г < R можно считать множитель г t dr. R L = -------- «In — J г а просто некоторой постоянной, так что равновесное распределение i|> (ф) определяется минимальностью функционала 2я J (1 -acos2\|;)(l +г|/[44])Лр = min. (37,8) о Уравнение Эйлера этой вариационной задачи: (1 — a cos 2г|з) ip" = a sin 2гр (1 — ф'[45]). (37,9) Оно имеет, прежде всего, два очевидных решения: гр = 0 (37,10) И гр = п/2. (37,11) Это — осесимметричные решения, которым отвечают соответственно рис. 27, а и рис. 27, б1). Эти решения однозначны, т. е. индекс Франка этих дисклинации п = 1 (ср. (37,1)). Для нахождения решений с пф \ замечаем, что уравнение (37,9) имеет первый интеграл2) (1 -acos2y)0|/2- 1) = const s -Д-- 1. (37,12) Отсюда находим решение в виде (37,3) с функцией и ч Г 1 — a cos 2ip "1 !/2... Константа q определяется условием (37,4) <»-■>* Г [ о (при этом должно быть |а|<72<1). Эти формулы определяют искомое решение. При каждом п решение единственно: поскольку левая часть условия (37,14)—монотонно возрастающая функция q, это равенство удовлетворяется лишь одним значением q. Функция f (х) четна; поэтому ср (ф) — нечетная функция. Это значит, что плоскость <р = 0 является плоскостью симметрии распределения; в силу существования оси симметрии Ст тем самым возникают еще т — 1 проходящих через ось г плоскостей симметрии. Наконец, плоскостью симметрии, очевидно, является плоскость 2 = 0. Таким образом, дисклинация с индексом и обладает полной симметрией точечной группы Dmft. При п — 2 из (37,14) очевидным образом следует, что (7=1, и соответствующее решение есть просто ф = ф = т. (37,15) Для выяснения качественного характера полученных решений исследуем поведение линий тока вблизи радиальных лучей Ф = Фр (37,7). На этих лучах \|з = рп, а вблизи них ф «рп и функция (37,13) сводится к постоянной: -&-/<*>«Ч1^Гв*- (37'16> Отсюда ф - пр «-j- (ф - фр). Дифференциальное уравнение линий тока принимает вид dq> s Y t — % ф — фр ' откуда находим для формы линий тока вблизи луча г = consb|tp —• фр|\ (37,17) Если ввести декартовы координаты с осью х вдоль луча, то вблизи последнего: г «х, ф — фр» ylx и уравнение линий тока записывается в виде # = const-jch-w. (37,18) Далее надо рассмотреть различные случаи. При п ^ 3/2 имеем п — 1 > 0, и из (37,14) очевидно, что q > 0, и потому К > 0. В этом случае линии тока выходят -из начала координат, касаясь луча. При п — 1/2 параметр q < 0, а с ним и МО. Численное исследование уравнения (37,14) показывает, что q2 > 1, а потому и \К\ > 1. Из (37,18) видно, что у растет вместе с х. Область вблизи начала координат нельзя рассмотреть этим способом, л = 5/2 л = 1/2 \\ П—1/2 - т=1. ГО-/ «Л ГП-3 { г\<У (с— ! i \ "---Гг. Рис. 29 так как, согласно (37,17), при X <; 0 малым значениям ф — фр отвечают большие значения г. Наконец, при п < 0 параметр —1 <g X <3 0 и, согласно (37,18), у-*-0 при дс->оо. Линии тока асимптотически прижимаются к лучу. На рис. 29 схематически показаны линии тока для дисклинации с п = 3/2, п = 1/2 и п = —1/2.
§ 38. Несингулярное осесимметричное решение уравнений равновесия нематиков Осесимметричные деформации (37,10—11) (см. рис. 27), представляющие дисклинации с индексом Франка п = 1, являются точными решениями уравнений равновесия нематической среды S 38) несингулярное осесимметричное решение 201
с заданными граничными условиями на стенках сосуда. Однако они не являются единственными решениями этих задач. Они единственны только в категории плоских решений. Если же отказаться от предположения о расположении векторов п везде в поперечных к оси сосуда плоскостях, то возможны и другие решения, причем не обладающие особенностью на оси. Так, если граничные условия требуют перпендикулярности п стенке, то линии тока директора в таком решении без особенности расположены в меридиональных плоскостях и имеют показанную на рис. 30 форму. Начинаясь на стенке нормально к ней, линии тока изгибаются, стремясь к оси г = 0, на которой, таким образом, направление п оказывается вполне определенным. Более того, мы увидим, что отсутствие особенности в таком решении приводит к его большей термодинамической выгодности (меньшей полной упругой свободной энергии) по сравнению с решением с особенностью на оси (P. Е. Cladis, М. Kleman, 1972). Приступим к построению этого решения.
Будем искать осесимметричное, однородное вдоль оси г решение в цилиндрических координатах г, ф, г в виде nt = cos % (г), пф = 0, пг = sin х (г) (38,1) (смысл угла х показан на рис. 30). Граничное условие на стенке: X = 0 при г = R (38,2) (R —- радиус цилиндрического сосуда), а на оси поставим условие X = я/2 при г = 0, (38,3)
отвечающее, как уже указано, отсутствию особенности. Имеем
dr divn = 1 d(rnT) r dr Свободная энергия деформации (на единицу длины вдоль оси г) дается интегралом j Fd2nrdr = Ini? = я J {(Kasln2x+/sC3cosax)x'2 + ^iCOSax-/<iSin2x-x'US. (38,4) где штрих означает дифференцирование по переменной I = = In г!). Первый интеграл уравнения равновесия (т. е. уравнения Эйлера вариационной задачи о минимуме функционала (38,4)): sin2 х + К, cos2 х) Х'2 - #i cos2х = const. (38,5) Согласно условию (38,3) должно быть % -*■ я/2 при £ -*■—со. Очевидно, что для этого должно быть %'• -*■ 0 при % -*■ я/2; поэтому const = 0, так что
ХUlSin2x + K,cos2X)1/2 ' Отсюда находим искомое решение, удовлетворяющее условию (38,2), в виде In — = -Д=- (1Ь«*х + К,и*У d (38i6)
В противоположность дисклинации (37,10) это решение не авто-модельно: в него входит размерный параметр длины R. Интеграл (38,6) выражается через элементарные функции. Выпишем ответ в предположении, что К8 > Кг'. г = г y^^-k'sbtjv i k arcsin sifl л (38,7) иг_ Ks—Ki u'%_ i __ *,ss _
При г 0 разность я/2 — х стремится к нулю пропорционально первой степени г, а линии тока приближаются к оси г по экспоненциальному закону г ~ exp (const*г). Для свободной энергии, связанной с этим решением, вычисление дает r J Fd2nr dr = я/Ci {2 + ~- arcsin. (38,8) о Отметим, что это выражение вообще не зависит от радиуса сосуда R. Энергия же дисклинации (рис. 27, а; решение (37,10)): я | Fd2nrdr = nKxL, (38,9)
х) Последний член в подынтегральном выражении несуществен для формулировки вариационной задачи, но нужен для вычисления полной свободной энергии. § 38] несингулярное осесимметричное решение 203
где L = In (R/a) — большой логарифм, происхождение которого связано именно с особенностью на оси. Мы видим, что решение без особенности энергетически более выгодно по сравнению с решением с особенностью (если только коэффициент Kj. не аномально мал). Поле п (г) рассмотренного здесь осесимметричного без особенности решения уравнений равновесия может быть получено из поля п (г) в дисклинации с п = 1 путем непрерывной (т. е. без возникновения каких-либо разрывов) деформации — постепенным выводим векторов п из плоскостей г — const. Это обстоятельство является проявлением весьма общей ситуации, которая будет выяснена в следующем параграфе.
Задачи 1. Найти осесимметричное решение уравнений равновесия нематической Решение. Ищем решение в виде пг = 0, = cos х (г), Пг = sin х М с граничными условиями Х(Д) = 0, х(0) = я/2. Имеем го!фп = —cosx-^-, rotzn = -^y^ —sinx-^-, divn = 0. Свободная энергия: J 2nrFd dr = n j {K2(sin X cos x — x')2 + #з cos4 x) dl. 0 — oo Первый интеграл уравнения равновесия: Ktf,'* - № sin2 х cos2 х + Кя cos* х) = 0. Интегрирование этого уравнения приводит к результату (полагаем Kg > К2).
# \Vl — № sin2 х + a' sin х При г -*■ 0 угол х -*■ я/2 по закону тг-*=2*'тг Свободная энергия этой деформации R | F$nr dr = пКг J2 -f- -~- arcsin k\, о между тем как свободная энергия плоской дисклинации рис. 27, б: nK^L. 2. Исследовать устойчивость дисклинации с индексом п = 1 относительно Решение, а) Невозмущенное поле радиальной дисклинации (рис. 27, а): яг «= 1 я<р = пг шв 0. Возмущенное же поле пишем в виде «, «= cos в cos ф да 1 i- (6а + фа), пф «я cos в sin ф я» ф, гег = sin 0 да 6, где углы в и ф — функции угловой координаты <р. Энергия, связанная с этим возмущением: j Far dr d(f = j {Д:,ф'2 + /(20'a + (/(8 _ /у фа _ д^а) d(p. Для общего исследования надо было бы положить СО 00 е(ф)- 2 9^"», ф(ф)= 2 ф/8(р и выразить энергию как функцию всех 64, Ф8. Но и без того сразу видно, что рассматриваемая дисклинации всегда неустойчива относительно возмущения В„ (член — Л]9§ в энергии). б) Невозмущенное поле циркулярной дисклинации (рио. 27, б): пг = пг == = 0, я,, = 1. Возмущенное поле записываем в виде п, = cos b cos (-j- + Ф^» — Ф, п% = cos ft sin + ф^ «1 — - ~ (в* -f- ф2), пг = sin е«е (определение угла ф изменено по сравнению с предыдущим случаем). Соответствующая энергия: j Fdr**-*-j{к*(в'а + ф'ь + ikx~к*}^ + iki~2кз)62}d<p- Наиболее «опасны» возмущения 6„ и ф0; условия устойчивости по отношению к этим возмущениям: Ki > Ks, Кг > 2К„. Полученное в тексте и в вадаче 1 утверждение, что свободная энергия деформации в дисклинациях с п = 1 превышае'1 энергию несингулярного осесимме-тричного решения означает лишь, что эти дисклинации могли бы быть в лучшем случае метастабильными. Теперь мы видим, что радиальная дисклинация вообще неустойчива, а циркулярная устойчива (относительно возмущений указанного вида) при соблюдении определенных соотношений между модулями. 3. Нематическая среда заполняет пространство между двумя параллельными плоскостями, причем граничные условия на одной плоскости требуют перпендикулярности, а на другой — параллельности директора поверхности. Определить равновесную конфигурацию п (г). Решение. Равновесная конфигурация будет, очевидно, плоской; выберем ее плоскость в качестве плоскости х, г с осью г перпендикулярной граничным плоскостям (плоскости z = 0 и г = к). Положим ««= sin % (г), n2 = cos х (г). Свободная энергия деформации: j Fa & = -y j {Kx sin» x + Kz cos* X} X'! a. Первый интеграл уравнения равновесии. (Дд sin2 х + Кг cos2 х) x'z «= откуда с учетом граничных условий | (Ki sin[46] х + Кг cos[47] х)1/2 d% = - J- J (Ki sfn[48] x + cos[49] x)1 /2 <*x. или
где E (x, fe) — эллиптический интеграл второго рода. § 39. Топологические свойства дисклинации Данное в § 37 определение индекса Франка было существенно связано с предположением о плоском характере деформации в дисклинации и однородностью вдоль ее длины. Покажем теперь, каким образом это понятие может быть введено в общем случае произвольных криволинейных дисклинации в нематической среде. Энергия нематика не меняется при одновременном произвольном повороте директора во всех его точках. В этом смысле можно сказать, что состояния нематика вырождены по направлениям директора; эти направления играют роль параметра вырождения. Введем понятие о пространстве вырождения — области допускаемого без изменения энергии изменения параметра вырождения. Им является в данном случае поверхность сферы единичного радиуса, каждая точка которой отвечает определенному направлению п. Надо однако учесть еще, что состояния нематика, отличающиеся изменением знака п физически тождественны. Другими словами, диаметрально противоположные точки на сфере физически эквивалентны. Таким образом, пространство вырождения нематика — сфера, на которой каждые две диаметрально противоположные точки считаются эквивалентными *). Представим себе, что мы производим в физическом объеме нематика обход вокруг расположенной в нем дисклинационной линии по некоторому замкнутому контуру (назовем его контуром у). Будем следить при этом обходе за направлением вектора п. Изображающая его точка в пространстве вырождения — на сфере — опишет некоторый тоже замкнутый контур (назовем его контуром Г). Здесь надо различать два случая. В одном из них контур Г замкнут в буквальном смысле. Возвращаясь в исходное положение, изображающая точка описывает некоторое целое число п петель (так, для контуров Г\ и Га на рис. 31 это число равно 1 и 2). Это число и является целочисленным индексом Франка.
В другом случае контур Г, выйдя из некоторой точки на сфере, заканчивается в диаметрально противоположной точке. Такойконтур тоже должен рассматриваться как «замкнутый» ввиду эквивалентности диаметрально противоположных точек. Индекс Франка определяется как полуцелое «число петель», описываемых при этом изображающей точкой (так, для полуокружности Г1/2 это число п — 1/2).
Дата добавления: 2014-11-07; Просмотров: 343; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |