P.S. Не забудьте прихватить с собой небольшой сувенирчик. Будем обмениваться подарками. 5 страница

дг *+* дх — ^U* _П4

я я (24,8

с^₊(с²-2с?)-^-==0.

сюда надо подставить

^на = ^и1х + ^мг = ^и1г 4" ^и«г«

в результате первое из условий (24,8) дает уравнение

а(й² + к?) + 2ьлк_/ = 0. (24,9)

второе приводит к равенству

2ас]щк + Ь [с] (к? - £²) + 2й?*²] = о,

или

2an_tk + + *?) = 0- (²⁴.^,0)

условие совместности двух однородных уравнений (24,9) и (24,10) дает

(a» + K?)⁸ = 4ftW/,

или, возведя в квадрат и подставив значения щ, щх

!«*■(* ~!•). (24,1.)

этим уравнением определяется связь между со и &. очевидно, что со = const -k; для определения коэффициента пропорциональ-ности^ напишем это соотношение в виде

со = еМ. (24,12)

тогда общий множитель k^B сокращается и, раскрыв скобки, полу­чим для £ уравнение

r-8^+8|^3-2-|j-16(l—|j =0. (24,13)

отсюда видно, что число £ зависит только от отношения Cttct, яв­ляющегося некоторой характерной для каждого данного вещества постоянной и зависящего в свою очередь только от коэффициента пуассона!

с) ~ 2 (1 — а) *

величина £ должна быть, разумеется, вещественной положи­тельной, причем | < 1 (так, чтобыщ, небыли вещественны). урав­нение (24,13) имеет только один корень, удовлетворяющий этим

условиям, так что для каждого данного значения c_tlci получается всего одно определенное значение |*).

Таким образом, для поверхностных волн, как и для объемных, частота пропорциональна волновому вектору. Коэффициент про­порциональности между ними есть скорость распространения волны

U = c_tl (24,14)

Этим определяется скорость распространения поверхностных волн через скорости c_f и с* поперечных и продольных объемных волн. Отно­шение амплитуд поперечной и продольной частей волны определяется по значению £ формулой

2-Е²

2^1-й²

(24,15)

Отношение с\1с_х фактически меняется для различных веществ в пределах от lAj/2 до 0, что соответствует изменению а от 0 до 1/2; при этом | меняется от 0,874 до 0,955. На рис. 21 дан график зависимости \ от с.

Задача

Плоскопараллельный пласт толщины h (среда /) лежит на упругом полу­пространстве (среда 2). Определить зависимость частоты от волнового вектора для поперечных волн в пласте с направлением колебаний, параллельным гра­ницам пласта.

Решение. Выберем плоскость раздела между пластом и полупростран­ством в качестве плоскости х, у, причем упругому полупространству соответ­ствуют z<5 0, а пласту h > г> 0. В пласте имеем

:/(г)е' <**-«*>,

= «п = 0,

W²

а в среде 2 пишем затухающую в глубь нее волну: ",2 = "_г2=0, «,₂= ЛW <**-«><>,

к₂ = (£² — со

Для функции f (г) имеем уравнение

(мы увидим ниже, что должно быть %\ > 0), откуда

/ (г) = В sin и_хг -f- С cos щг.

На свободной границе пласта (г = Л) должно быть о_гу = 0, т. е. ди_у1/дг = 0. На границе же между обеими средами (г = 0) имеем условия

Uyi = и_у2,

1*1

VI

ди, Тг ди.

дг

(jii, (i₂ — модули сдвига обеих сред). Из этих, условий находим три уравнения для А, В, С, условие совместности которых дает

Это уравнение определяет в неявном виде зависимость со от k\ оно имеет решения лишь при вещественных x_t и х₂, так что всегда с<₂ > со/Л > с«. Отсюда видно, что распространение рассматриваемых волн возможно лишь при условии cj₂^!> сц.

§ 25. Колебания стержней и пластинок

Волны, распространяющиеся в тонких пластинках и стерж­нях, существенно отличаются от волн, распространяющихся в среде, неограниченной во всех направлениях. При этом речь идет о волнах, длина которых велика по сравнению с толщиной стержня или пластинки. В обратном предельном случае длин волн, малых по сравнению с этой толщиной, стержень или пла­стинку можно было бы вообще рассматривать как неограничен­ные во всех направлениях, и мы получили бы* снова соотношения, имевшие место в неограниченных средах. •

Необходимо различать волны, в которых колебания происхо­дят параллельно оси стержня или плоскости пластинки, от волн с перпендикулярными колебаниями. Начнем о изучения продоль­ных волн в стержнях.

Продольная деформация стержня (однородная вдоль его сече­ния), на боковую поверхность которого не действуют никакие внешние силы, представляет собой простое растяжение или сжатие. Таким образом, продольные волны в стержне представляют собой распространяющиеся вдоль его длины простые растяжения или сжатия. Но при простом растяжении отлична от нуля только ком­понента a_zz тензора напряжений (ось г — вдоль длины стержня), связанная с тензором деформации посредством (см. § 5)

du_z

a_zz — Eu_zz — Е ■

Подставляя это в общее уравнение движения

да_гъ

«аходим

Это есть уравнение продольных колебаний в стержнях. Мы видим, что оно имеет вид обычного волнового уравнения. Скорость рас­пространения продольных волн в стержнях оказывается равной

(Е/₉У». (25,2)

Сравнив ее с выражением (22,4) для c_t, видим, что она меньше ско­рости распространения продольных волн в неограниченной среде.

I = const •e^,'^kr-^w'>

(25,7)

(волновой вектор к имеет, конечно, всего две компоненты k_x и k_v). Подстановка в (25,6) приводит к уравнению

-рсо* + -5-^ = 0.

Отсюда получаем следующее соотношение между частотой и,, вол­новым вектором волны:

^Ш=* КИТ) (l2_P(l-o*)) ' <²⁵'⁸)

Таким образом, частота оказывается пропорциональной квадрату абсолютной величины волнового вектора, в то время как в волнах в неограниченной среде она пропорциональна первой ее степени.

Зная закон дисперсии волн, можно найти скорость их распро­странения согласно формуле (23,4). В данном случае находим

Мз_Р(1-о*)р-, (ад

Таким образом, скорость распространения волн изгиба по пластин­ке пропорциональна волновому вектору, а не постоянна, как для волн в неограниченной трехмерной среде *).

Аналогичные результаты справедливы и для волн изгиба тон­ких стержней; колебания изгиба предполагаются малыми. Урав­нения движения получим, заменив в уравнениях равновесия слабо изогнутого стержня (20,4) силы —К_х, —К_у произведениями уско­рений X, Y на массу pS единицы длины стержня (S — площадь его сечения). Таким образом,

pSX = ₉SY = EI_X^. (25,10)

Решение этих уравнений снова ищем в виде

X = const-ё <**-<оо, Y = const -е ^[3] (**-«><>, и находим следующий закон дисперсии!

со«> = (-f^)^I/2^> = (-f^)'"*' (25,11)

для колебаний вдоль осей х и у. Соответствующие скорости рас­пространения:

£/<*> = 2 (^-)^I/2 k, UW = 2 (^-)^1/2 ft. (25,12)

Наконец, рассмотрим крутильные колебания стержня. Урав­нение движения стержня, подвергаемого деформации кручения, получается-приравниванием выражения Сдх/dz (см. § 16, 18) про­изводной по времени от момента импульса единицы длины стержня. Этот момент равен р/ ду/dt, где dq>/dt — угловая скорость враще­ния (ф — угол поворота данного сечения), а

— момент инерции сечения стержня относительно его центра инер­ции (при чисто крутильных колебаниях каждое сечение совершает вращательные колебания вокруг оси инерции стержня, остаю­щейся неподвижной). Написав <с = дф/дг, находим уравнение движения в виде

^сФ=р'^- (ад

Отсюда видно, что скорость распространения крутильных коле­баний вдоль стержня равна

(С/р/)¹/². (25,14)

Задачи

1. Определить частоты продольных собственных колебаний стержня (дли-
ны I), один из концов которого закреплен, а другой — свободен.

Решение. На закрепленном конце (г = 0) должно быть и_г = 0, а на свободном конце (г = I) a_zz = Eu_zz = 0, т. е. ди_г1дг= 0, Ищем решение урав­нения (25,1) в виде

u_z = A cos (со/ -f- сг) sin кг, k = со (р/£)^1/2. Из условия при г = I имеем cos kl = 0, откуда для собственных частот находим

"(f)^u,S-*+»

(я — целые числа).

2. То же для стержня, оба конца которого свободны или оба закреплены,
Решение. В обоих случаях

/ Е \1/2 п

^а={т) -^п-

3. Определить частоты собственных колебаний струны (длины /).
Решение. Уравнение движения струны:

д*Х pS д*Х дг* Т dt*

(ср. уравнение равновесия (20,17)). Граничные условия: Х=0 при г=0, I, Собственные частоты:

/ pS \i/2 пп

4. Определить частоты поперечных собственных колебаний стержня qwh?
ны Л с заделанными концами.

Решение. Уравнение (25,10) при подстановке в него

X = Х₀ (г) cos (со/ + а)

приобретает вид

dz* ~" Е1_и

Общий интеграл этого уравнения есть

Х₀ = A cos кг + В sin xz -f- С ch xz -f- D sh xz.

Постоянные Л, В, С, D определяются из граничных условий X — О, dX/dz = О при z = 0, /. В результате находим

Х₀ = A {(sin и/ — sh xl) (cos kz — ch xz) — (cos xf — ch xl) (sin xz — sh xz)}

и уравнение

cos xl ch x/ = 1,

корни которого определяют собственные частоты колебаний. Наименьшая из собственных частот равна

_ 22,4 Е1_У tOmin-—j5--j5g-»

5. То же для стержня с опертыми концами. Решение аналогично решению задачи 4. Результат:

X_Q = Л sin хг, а частоты определяются из sin х/ = 0, т. е.

х =— (п=1, 2,...).

^min ^:

Наименьшая частота есть

9,87 E/_g

I² pS

6. То же для стержня, заделанного на одном конце и свободного на другом.
Решение, Получаем для смещения

Х₀ = A {(cos xl -f ch xl) (cos xz — ch xz) + (sin xl — sh x/) (sin xz — sh xz)J

(закрепленный конец z = 0, свободный z = l), и уравнение

cos х/ ch xl + 1 = О

для собственных частот. Наименьшая частота есть

3,52 Ely <Отш--р pg-.

7. Определить собственные колебания прямоугольной 'пластинки (длины
сторон а и Ь) с опертыми краями.

Решение, Уравнение (25,6) при подстановке в него

£ = £о (х, у) cos (co< -f- а)

приобретает вид

12р(1 — а²)

ДД£о — x⁴?₀ = 0_s х» = со²

Выбираем оси координат по сторонам пластинки, Граничные условия (12,11) приобретают вид

8*1

при х=0, а: £ = О, -^§- = 0;

при у = 0, Ь: £ = 0, -^=0.

Удовлетворяющее этим условиям решение есть

„.. тлх. плу
£о = A sin--------- sin-

а, Ь

со =

(т, п — целые числа), причем частоты определяются равенством

Eh

12р (1 — о²)

8. Определить собственные частоты колебаний мембраны прямоугольной формы (с длинами сторон а и ft).

Решение. Уравнение колебаний мембраны

Т Д£ = pftjj

(ср. уравнение равновесия (14,9)). Края мембраны должны быть закреплены так, что £ = 0. Соответствующее решение для прямоугольной мембраны есть

_v.. тлх. плу,

£ = A sin sin —г²- cos ш,

где собственные частоты

. Т, / т^а ■ л² \

ph

(m, п — целые числа).

9. Определить скорость распространения крутильных колебаний по стерж­ням с сечением в виде круга, эллипса и равностороннего треугольника и по стержню, имеющему вид длинной прямоугольной тонкой пластинки.

Решение. Для кругового сечения (радиуса R) момент инерции / = = nR*/2; взяв С из задачи 1 § 16, получим для скорости значение (р-/р)^1/2, совпа­дающее СО СКОРОСТЬЮ Cf.

Аналогично (используя результаты задач 2—4 § 16) получаем для стержня эллиптического сечения скорость

lab d' + b* ^Ct'

для стержня с сечением в виде равностороннего треугольника

3 V/2

/ 3 у/2

для стержня в виде длинной прямоугольной пластинки

Все эти скорости меньше cj,

10. Поверхность бесконечно глубокой несжимаемой жидкости покрыта тонкой упругой пластинкой. Определить связь между волновым вектором и частотой для волн, одновременно распространяющихся по пластинке и в поверх­ностном слое жидкости,

Решение. Выбираем плоскость пластинки в качестве плоскости г = О, а ось х выбираем вдоль направления распространения волны; области жидкости пусть соответствуют г< 0. Уравнение движения свободной пластинки есть

(р₀ — плотность материала пластинки). При наличии жидкости к правой сторрне этого уравнения надо прибавить силу, действующую со стороны жидкости на 1 см² поверхности пластинки, т. е. давление р жидкости. Но давление в волне выражается через потенциал скорости посредством р = —р ду/dt (полем тяже­сти пренебрегаем). Поэтому получаем уравнение

. д\ _п д% 3_Ф

2=0

Далее, нормальная компонента скорости жидкости на ее поверхности должна быть равна скорости точек пластинки, откуда получаем условие

dt дг

<²>

г=0

Потенциал ф должен удовлетворять во всем объеме жидкости уравнению

^L^-^L-O. (3)

дх* ' дг*

Ищем £ в виде бегущей ролны £ = ^е^{кх'^ш; соответственно этому берем ре шение уравнения (3) в виде затухающей в глубь жидкости поверхностной волны

Подстановка этих выражений в (1) и (2) приводит к двум уравнениям для ф₀ и So, из условия совместности которых получаем

D

(Р + hp₀k)

§ 26. Ангармонические колебания

Вся изложенная теория упругих колебаний является прибли­женной в том же смысле, в*каком приближенна вообще вся теория упругости, основанная на законе Гука. Напомним, что в ее основе лежит разложение упругой энергии в ряд по степеням тензора деформации, причем оставляются члены до второго порядка вклю­чительно. Соответственно этому компоненты тензора напряжений оказываются линейными функциями компонент тензора деформа­ции, и уравнения движения — линейны.

Наиболее характерной особенностью упругих волн в этом при­ближении является то, что всякую волну можно представить в виде простого наложения, т.е. в виде линейной комбинации отдельных монохроматических волн. Каждая из этих монохрома­тических волн распространяется независимо от остальных и мо­жет существовать также и сама по себе, не сопровождаясь какими-либо посторонними движениями. Можно сказать, что различные монохроматические волны, одновременно распространяющиеся в одной и той же среде, «не взаимодействуют» друг с другом.

Все эти свойства, однако, исчезают при переходе к следующим приближениям. Эффекты следующих приближений хотя и яв­ляются малыми, но для некоторых явлений могут играть основную роль. Эти эффекты обычно называют ангармоническими в связи с тем, что соответствующие уравнения движения нелинейны и не допускают простых периодических (гармонических) решений.

Мы рассмотрим здесь ангармонические эффекты третьего по-
рядка, происходящие от кубических по деформации членов в упру-
гой энергии. В общем виде соответствующие уравнения движения
оказываются очень громоздкими. Выяснить же характер возни-
кающих эффектов можно с помощью следующих рассуждений.
Кубические члены в упругой энергии дают квадратичные члены
в тензоре напряжений, а потому и в уравнениях движения. Пред-
ставим себе, что в этих уравнениях все линейные члены перенесены
в левые, а все квадратичные — в правые стороны равенств. Решая
эти уравнения методом последовательных приближений, мы
должны в первом приближении вовсе отбросить квадратичные
члены. Тогда останутся обычные линейные, уравнения, решение
и₀ которых может быть представлено в виде наложения монохро-
матических бегущих волн вида const-t?'^(kr_t0/) с определенными со-
отношениями между со и к. Переходя к следующему, второму,
приближению, надо положить u = и₀ -f- и_ь причем в правой сто-
роне уравнений (в квадратичных членах) надо сохранить только
члены с и₀. Поскольку и₀ удовлетворяет, по определению, однород-
ным линейным уравнениям без правых частей, то в левой стороне
равенств члены с и₀ взаимно сокращаются. В результате мы полу-
чим для компонент вектора а₁ систему неоднородных линейных
уравнений, в правой части которых стоят заданные функции коор-
динат и времени. Эти функции, получающиеся подстановкой и₀
в правые стороны исходных уравнений, представляют собой сумму
членов, каждый из которых пропорционален множителю вида
_е> r-(b>.-o>₂WL илие'1(^к>^+к*>^г-<^ш'-^но*>'], где со_ь ю₂ и к₁₍ к₂ —ча-

стоты и волновые векторы каких-либо двух монохроматических волн первого приближения.

Как известно, частный интеграл линейных уравнений такого вида представляет собой сумму членов с такими же экспоненциаль­ными множителями, какие стоят в свободных членах (правых сто­ронах) уравнений, и с надлежащим образом подобранными коэф­фициентами. Каждый из этих членов соответствует бегущей волне с частотой а>₁ ± со₂ и волновым вектором k_x ± к₂ (частоты, рав­ные сумме или разности частот исходных волн, называют комбина­ционными).

Таким образом, эффекты ангармоничности третьего порядка приводят к тому, что на совокупность основных монохроматиче­ских волн (с частотами ш₁₍ со₂. ••• и волновыми векторами k_t, k₂,...) налагаются некоторые «волны» слабой интенсивности с ком­бинационными частотами вида со_х ± со₂ и волновыми векторами

к, ± к_г. Мы говорим здесь о них как о «волнах» в кавычках, имея в виду, что они представляют собой некоторый поправочный эф­фект и не могут существовать сами по себе (за исключением неко­торых особых случаев; см. ниже). Между ю_х ± ю₂ и к_г ± к₂ не удовлетворяются, вообще говоря, те соотношения, которые цмеют место для частот и волновых векторов в обычных монохроматиче­ских волнах.

Ясно, однако, что возможны и такие специальные подборы зна­чений ©_ь kj и со₂, k₂, при которых между ю_х -f- ©₂ и. k, -f- k_s (бу­дем говорить для определенности о суммах, а не о разностях) будет выполняться одно из тех соотношений, которые должны иметь место для монохроматических волн в данной среде. Вводя обозначения о>₃ = о)_х -f- ci)₂, k₃ = k_t -f k₂, мы можем сказать с ма­тематической точки зрения, что ю₃, к₃ соответствуют в этих слу­чаях волнам, удовлетворяющим однородным линейным уравне­ниям движения (без правой части) первого<приближения. Если в правой стороне уравнений движения второго приближения имеются члены, пропорциональные е¹ (^к'^г-®'*) с такими ©₃, к_я, то, как известно, частный интеграл этих уравнений будет представлять собой волну этой частоты с амплитудой, неограниченно возраста­ющей со временем.

"Таким образом, наложение двух монохроматических волн со_ь kj и со₂, к₂, для которых суммы со₃, к₃ удовлетворяют указанному условию, приводит в результате эффекта ангармоничности к яв­лению резонанса — возникает новая настоящая монохроматиче­ская волна ©з, к₃, амплитуда которой возрастает со временем и в конце концов перестает быть малой. Очевидно, что если при нало­жении волн,©_ь ki и ©_а, к₂ возникает волна <в₃, к₃, то при наложе­нии волн ©j, к_х и ©з, к₃ тоже будет иметь место резонанс и возни­кает волна т., = ©₃ — ю₁₍ k₂ = k₃ — к_ь а при наложении волн ©₂, к₂ и со₃, к₃ возникает волна <а_1г к_г.

В частности, в изотропном теле © связано с к посредством © = c_tk или © = c_tk, причем с_г £> c_t. Легко видеть, в каких слу­чаях возможно выполнение какого-либо из этих соотношений для каждой из трех волн: ©_ъ к_х; ©₂, к₂ и ю₃ = ©л -j- ©₂, к₃ — = к_х -f- к₂. Если к_х и к₂ не совпадают по направлению, то k₃ < < *i 4- к₂; ясно поэтому, что при таких к,, к₂ резонанс возможен лишь в следующих двух случаях: 1) волны ©_ь к_х и ©₂. ^2 попе­речны, а волна ©₃, к₈ продольна; 2) одна из волн ©_ь к_х или ш₂, к₂ продольна, другая поперечна, а волна ©₃, к₃ продольна. Если же векторы kj и к₂ имеют одинаковое направление, то резонанс воз­можен в случаях, когда все три волны продольны или все три по­перечны.

Эффект ангармоничности с явлением резонанса возникает не только при наложении нескольких монохроматических волн, но и при наличии всего одной только волны ©_х; к_г. В этом случае в пра­вой стороне уравнений движения имеются члены, пропорцио-

§ 26]

ангармонические колебания

нальные е²' <^к«^г-^ш1'>. Но если для а_и к_х удовлетворяется обычное соотношение, то (в силу однородности первого порядка этого соот­ношения) оно удовлетворяется и для 2а_и 2к_±. Таким образом, эффект ангармоничности приводит к появлению наряду 6 каж­дой из имеющихся монохроматических волн и_ь к_} также и волны 2со_ъ 2к_г с удвоенными частотой и волновым вектором, причем ам­плитуда этой волны растет со временем.

Наконец, остановимся коротко на том, каким образом могут быть составлены уравнения движения е учетом ангармонических членов. Тензор деформации должен определяться теперь полным выражением (1,3)

^и* = Т\^+-Ъ1^⁺-дхТ-дх7)> W>

в котором нельзя пренебречь квадратичными по щ членами. Да­лее, общее выражение для плотности энергии &^[4]) для тел с данной симметрией должно быть написано как скаляр, составленный из компонент тензора ы_г* и некоторых характерных для вещества тела постоянных тензоров, содержащих члены до желаемой степени по Подставляя затем выражение (26,1) для и_ш и отбрасывая члены слишком высоких порядков по щ, получим энергию & как функцию производных дщ}дх_к с желаемой степенью точности.

Для того чтобы получить уравнения движения, заметим сле­дующее. Вариация бсУ может быть написана в виде

\ dxk I

или, вводя обозначение!

^ст»⁼ д(дщ!дх_к) ' (^2б'²>

переписываем бсУ следующим образом!

№ = °ш -тег = л?Г (°л ^8ut) ~ ^out -°^ift

dx_k - dx_h ^K"^lh ™^[5]> дх_к '

Коэффициенты при — 6щ представляют собой компоненты силы, от-отнесенной к единице объема тела. Они имеют формально преж­ний вид, и потому уравнения движения могут быть написаны по-прежнему в виде

е°^й' = ЧхТ' <^26,3)

где р₀ — плотность недеформированного тела, а компоненты тен­зора a_ih определяются теперь, согласно (26,2), с 8, написанным с желаемой степенью точности. Тензор o_ih теперь не симметричен.

Подчеркнем, что a_ik не имеет теперь смысла плотности потока импульса (тензора напряжений). В обычной теории такое истол­кование получалось в результате интегрирования плотности объемной силы da_ihldx_h по объему тела. При этом существенно, что при интегрировании мы не делали различия между координа­тами точек тела до и после деформирования, пренебрегая разницей между ними. Однако при переходе к следующим приближениям такое пренебрежение становится невозможным, и поверхность, ограничивающая область интегрирования, не совпадает с реаль­ной поверхностью рассматриваемого участка тела после его дефор­мирования.

В § 2 было показано, что симметричность тензора a_ih связана с сохранением момента импульса. Теперь этот результат не имеет места в связи с тем, что плотность момента импульса должна запи­сываться не в виде *j«_ft — x_hu_t, а как

+ "h — (*ft+ •

задача

Написать общее выражение для упругой энергии изотропного тела в третьем приближении.

Решение. Из компонент симметрического тензора второго ранга можно составить два квадратичных скаляра (u|_ft и 1ф) и три кубических (u^s_lt, u_utf_kt Uik^uH^uki)- Поэтому наиболее общий вид скалярного выражения, содержащего члены второй и третьей степеней по Ujfc со скалярными же (изотропное тело!) коэффициентами, есть

8 -{«4+(-j"--j) ⁺Т"^uik^uu^uki+^Bu\k^au+X

(коэффициенты при и|_йии^г_г выражены через модули сжатия и сдвига; А, В, С — три новые постоянные). Подставляя сюда выражение (26,1) для щъ и остав­ляя члены до третьего порядка включительно, получим упругую энергию в виде

(1 / dUt du_k \2 / К (1 \ / дщ \2

^--т\-дхт⁺-дкт) +V"2-~TJ(-o>r; +

/ А \ дщ дщ дщ (В + К ц\ дщ I дщ у
V^й"*" 4) dx_k dx_t дх_к~*~\ 2 3) dxi \ dx_k }

А дщ du_h дщ В дщ du_k дщ С_ /, дщ \з ⁺ 12~1)х^1^1^ ⁺ ~1^1^1^ ⁺ 1Г\1Щ~) *

ГЛАВА IV

ДИСЛОКАЦИИ¹)

§ 27, Упругие деформации при наличии дислокации

Упругие деформации в кристалле могут быть связаны не только
g воздействием на него внешних сил, но и с наличием в нем вну-
тренних дефектов структуры. Основным видом таких дефектов,
существенных для механических свойств кристаллов, являются
так называемые дислокации. Изучение свойств дислокаций с ато-
марной, микроскопической точки зре-.„
ния не входит, разумеется, в план j
этой книги; мы рассмотрим здесь лишь • +
чисто макроскопические аспекты этого
явления с точки зрения теории упру-

гости. Однако для лучшего уяснения _•__•_.!_ *_L_*_.!_.!_.!.________

физического смысла излагаемых соот-...................................................... ё

ношений предварительно напомним на........................................................

двух простых примерах, в чем заклю-......................................................

чается характер дислокационных де-....................................................

фектов с точки зрения структуры кри-
сталлической решетки. Рис. 22

Представим себе, что в кристал­лическую решетку (разрез которой

изображен на рис. 22) вдвинута «лишняя» кристаллическая полуплоскость (совпадающая на рисунке с верхней полу­плоскостью у, г). Линия края этой полуплоскости (перпендику­лярная плоскости рисунка ось г) называется в этом случае краевой дислокацией. Искажение структуры решетки в непосредственной близости к дислокации велико, но уже на расстояниях порядка нескольких периодов кристаллические плоскости смыкаются друг с другом почти правильным образом. Деформация существует, однако, и вдали от дислокации. Она ясно обнаруживается при обходе в плоскости х, у по узлам решетки вдоль замкнутого кон­тура вокруг начала координат: если определять вектором и сме­щение каждого узла от его положения в идеальной решетке, то полное приращение этого вектора при обходе будет отлично от нуля и равно одному периоду вдоль оси х.

Дата добавления: 2014-11-07