P.S. Не забудьте прихватить с собой небольшой сувенирчик. Будем обмениваться подарками. 2 страница

Свободная энергия единицы объема стержня: <*ik«W2 = o_lzuj2 = Ex²/2R^Z. Интегрируя по всему поперечному сечению стержня, имеем

-ggrj (17,5)

Это есть свободная энергия единицы длины изогнутого стержня. Радиус кривизны R определен здесь как радиус кривизны ней­тральной поверхности. Но в силу тонкости стержня здесь с той же точностью R можно считать просто радиусом кривизны са­мого изогнутого стержня, рассматриваемого как не имеющая толщины линия (об этой линии часто говорят как об упругой линии).

В выражении (17,5) удобно ввести понятие момента инерции площади поперечного сечения стержня. Именно, определим мо­мент инерции сечения относительно проходящей через его пло­скость оси у как интеграл:

h = \x*df, (17,6)

т. е. аналогично обычному понятию момента инерции с той только разницей, что вместо элемента массы стоит просто¹ элемент по-

верхности df. Тогда свободная энергия единицы длины стержня запишется в виде

1у (17,7)

Определим еще момент сил внутренних напряжений, действу­ющих в данном сечении стержня (этот момент называют изгиба­ющим). К элементу df поверхности сечения приложена сила

а_гг df —-jj- Е df, направленная вдоль оси z. Ее момент отно­сительно оси у есть ха_хг df. Поэтому полный момент сил относи­тельно этой оси есть

M_y = ^-\x*df=-^. (17,8)

Таким образом, кривизна 1/R упругой линии пропорциональна действующему в данном сечении изгибающему моменту.

Величина /„ зависит от того, как направлена ось у в плоско­сти сечения. Удобно, как это принято в механике, выражать 1_д через два так называемых главных момента инерции. Если 9 есть угол между осью у и одной из главных осей инерции сечения стержня, то, как известно,

1_У — ]_х cos³ 9-f-/2 sin² 0, (17,9)

где /₁₍ /₂ — главные моменты инерции. Плоскости, проходящие через ось z и главные оси инерции сечения стержня, называют главными плоскостями изгиба.

Если, например, сечение стержня является прямоугольником (со сторонами а и Ь), то его центр инерции находится в центре прямоугольника, а главные оси инерции параллельны его сторо­нам. Главные моменты инерции равны

1_х = аЧ[\2, /₂ = а/?³/12. (17,10)

При круговом сечении (с радиусом R) центр инерции находится в центре круга, а направление главных осей инерции произвольно. Момент инерции вокруг любой оси, проходящей в плоскости сече­ния через его центр, равен

/ = л#¹/4. (17,11)

§ 18. Энергия деформированного стержня

*) Напомним, что под сильной мы понимаем здесь такую деформацию, при которой вектор и не мал, тензор же деформации по-прежнему является малым.

'В предыдущем параграфе мы рассматривали только неболь­шую область вдоль длины изогнутого стержня. Переходя теперь к исследованию деформации во всем стержне, необходимо начать с выбора подходящего способа описания такой деформации. Су­щественно, что при сильном ¹) изгибе стержня в нем одновременно возникает, вообще говоря, также и некоторая деформация кру­чения, так что результирующая деформация есть комбинация чистого изгиба и кручения.

Для описания деформации удобно поступить следующим образом. Разделим весь стержень на ряд бесконечно малых эле­ментов, каждый из которых вырезается из стержня двумя беско­нечно близкими поперечными сечениями. В каждом таком элементе введем свою систему координат %, ц, £; направления осей выберем таким образом, чтобы в недеформированном стержне все эти системы были параллельны друг другу, причем все оси £ направ­лены параллельно оси стержня. При изгибании стержня в каждом элементе система координат поворачивается, причем в различных элементах, вообще говоря, различным образом. Каждые две беско­нечно близкие системы оказываются при этом повернутыми друг относительно друга на некоторый бесконечно малый угол.

Пусть d(f> — вектор угла относительного поворота двух си­стем, находящихся на расстоянии dl вдоль длины стержня (как известно, бесконечно малый угол поворота можно рассматривать как вектор, направленный вдоль оси поворота; его составляющие представляют собою углы поворота вокруг каждой из трех осей координат).

Для описания деформации мы введем вектор

0 = тЬ 08.1)

определяющий «скорость» поворота осей координат вдоль длины стержня. Если деформация является чистым кручением, то по­ворот последовательных систем координат происходит только вокруг оси стержня, т. е. вокруг осей £. В этом случае, следова­тельно, вектор Q направлен вдоль оси стержня и представляет собой не что иное, как угол кручения т, которым мы пользова­лись в § 16. Соответственно этому и в общем случае произвольной деформации компоненту Й_£ вектора Q можно назвать углом кручения. При чистом же изгибе стержня в одной плоскости вектор Q не имеет компоненты Qj, т. е. лежит в каждой точке целиком в плоскости |, ц. Если при этом выбрать плоскость, в которой происходит изгиб, в качестве-плоскости £, £, то поворот происходит в каждой точке вокруг оси т), т. е. Q параллелен оси т).

^г) Напомним, что всякая кривая в пространстве характеризуется в каждой точке своими так называемыми кривизной и кручением. Это кручение (нам не придется пользоваться им) не следует смешивать с тем, что мы называем здесь деформацией кручения, представляющей собой закручивание стержня вокруг его оси.

Введем единичный вектор t, направленный по касательной к стержню, рассматриваемому здесь просто как упругая линия. Производная dXldl называется вектором кривизны линии; его абсолютная величина равна MR, где R — радиус кривизны *), а его направление называется направлением главной нормали кривой. Изменение вектора при бесконечно малом повороте равно векторному произведению вектора угла поворота на сам рассматриваемый вектор. Поэтому для разности векторов t в двух бесконечно близких точках упругой линии можно написать:

dt = [dft],

или, разделив на dl:

~§- = [Ш]. (18,2)

Умножив это равенство с обеих сторон векторно на t, получаем
0=[t-2r]+t(tQ). (18,3)

Направление вектора касательной в каждАй точке совпадает с направлением оси £ в этой же точке. Поэтому (tQ) = Я. Введя единичный вектор п главной нормали так, что dXldl = n/R, можно, следовательно, написать:

Q = -~[tnJ + tQ. (18,4)

Первый член справа представляет собой вектор с двумя компо­нентами Щ, Я„. Единичный вектор [tn] называется, как изве­стно, единичным вектором бинормали. Таким образом, компо­ненты й|, Qy, образуют вектор, направленный по бинормали к стержню и по абсолютной величине равный его кривизне 1/R.

Введя, таким образом, вектор Q, характеризующий деформа­цию, и выяснив его свойства, мы можем вывести выражение для упругой свободной энергии изогнутого стержня. Упругая энергия (отнесенная к единице длины стержня) является квадратичной функцией деформации, т. е. в данном случае квадратичной функ­цией компонент вектора Q. Легко видеть, что в этой квадратичной форме должны отсутствовать члены, пропорциональные QjQj или 0„Я_г. Действительно, поскольку стержень однороден вдоль всей своей длины, то все величины, в частности и энергия, не должны меняться при изменении направления положительного отсчета координаты £, т. е. при замене £ на —£; указанные же произведения при такой замене переменили бы свой знак.

Что касается члена с квадратом Я|, то надо помнить, что при Я| = £1_п = 0 мы имеем дело с чистым кручением, и тогда выра­жение для энергии должно совпасть с выражением, полученным в § 16. Таким образом, соответствующий член в свободной энер­гии имеет вид

Наконец, члены, квадратичные по Q|, Яц, можно написать, исходя из выражения (17,7) для энергии слабо изогнутого неболь­шого участка стержня. Предположим, что стержень подвергается лишь слабому изгибу. Плоскость £, £ выберем в плоскости изгиба так, что компонента Щ исчезает; кручение также отсутствует при слабом изгибе. Выражение для энергии должно в этом случае совпадать с (17,7):

Но мы видели, что 1/R² является как раз квадратом плоского вектора (Qg, £!„). Поэтому энергия должна иметь вид

— 1 О²

При произвольном выборе осей £, rj это выражение напишется, как известно из механики, в виде

£

-g- + 2/„|Q._nQ! -J- h&Dt

где I_m, /„£, 1ц — компоненты тензора инерции сечения стержня. Удобно выбрать оси £, ц так, чтобы они совпали с главными осями инерции сечения стержня. Тогда мы будем иметь просто

где /_1; /₂ — главные моменты инерции сечения. Поскольку коэффициенты при Qf и Q% постоянные, то полученное выраже­ние должно иметь место и при сильном изгибе.

Наконец, интегрируя по всей длине стержня, получим окон­чательно следующее выражение для свободной упругой энергии изогнутого стержня;

^F* = J {-¥- ^Qi+-¥- ^Q?>+4- ^Qs}^dl (^l8>⁵)

Далее, выразим через Q момент сил, действующих на сечение стержня. Это легко сделать, используя опять результаты, полу­ченные ранее для чистого кручения и слабого чистого изгиба. При чистом кручении момент сил относительно оси стержня ра­вен Ст. Поэтому заключаем, что в общем случае момент Afj отно­сительно оси £ должен быть равен Af j = Ш_е. Далее, при слабом изгибе в плоскости |, £ момент относительно оси tj есть EIJR. Но при таком изгибе вектор Q направлен по оси tj, так что 1/R есть просто его абсолютная величина и EIJR = EI₂Q. Поэтому заключаем, что в общем случае должно быть Af j = EI^i, Af„ = = £7₂q„ (оси I, tj выбраны по главным осям инерции сечения). Таким образом, компоненты вектора М момента сил равны

М_ъ = Е1₁$ъ Af„ = EI₂Q_n, Mj = CQ_£. (18,6)

Упругая энергия (18,5), выраженная через момент сил, имеет вид
_{F =}ffA+J^+AL/ (18,7)

Важным случаем изгиба стержней является слабый изгиб, при котором на всем протяжении стержня отклонение его от перво­начального положения мало по сравнению с длиной стержня. В этом случае кручение можно считать отсутствующим, так что можно положить = 0 и из (18,4) имеем просто

Q = -±-[tn]=[t-g-]. (18,8)

Введем неподвижную в пространстве систему координат х, у, г с осью z вдоль оси недеформированного стержня (вместо связан­ных в каждой точке со стержнем координат |, г\, £. Обозначим посредством X, Y координаты х, у точек упругой линии стержня; X и Y определяют смещение точек линии от их первоначального положения до изгиба.

Ввиду того что изгиб слаб, вектор касательной t почти парал­лелен оси г, так что приближенно можно считать его направлен­ным вдоль этой оси. Далее, единичный вектор касательной равен производной

от радиус-вектора г точек кривой по ее длине. Поэтому имеем

dt _ d*r _ d?r

dl ~ dl* ~ dz*

(производную по длине стержня можно приближенно заменить производной по z). В частности, х- и у-компоненты этого вектора равны соответственно d²Xldz² и d²Yldz². Компоненты Qg, Q_n с той же точностью равны теперь компонентам Q_x, Ц,, и из (18,8) получаем

Q_e=--g-. Q„ =-!?-. (ВД

Подставляя эти выражения в (18,5), получаем упругую энер­гию слабо изогнутого стержня в виде

'«--И {'.(-£)•+'.(-£-)>. <¹⁸'¹⁰>

Напомним, что 1_Ъ /₂ — моменты инерции соответственно относи­тельно осей х, у, являющихся главными осями инерции.

В частности, для стержня кругового сечения /_х = /₂ = / и в подынтегральном выражении получается просто сумма ква­дратов вторых производных, совпадающая в рассматриваемом приближении с квадратом кривизны стержня:

/ d*X N2 / d*Y у------- 1

V dz* \ dz*) ~ R* '

Ввиду этого формулу (18,10) можно естественным образом обоб­щить для слабого изгиба стержней (кругового сечения), имеющих в своем естественном (недеформированном) состоянии любую непрямолинейную форму. Для этого надо написать энергию из­гиба в виде

^f-=44(i--i)²^ Q*m

где R_e — радиус естественной кривизны стержня в каждой его точке. Это выражение, как и должно быть, обладает минимумом в недеформированном состоянии (R == R₀), а -«при R₀ -> оо пере­ходит в формулу (18,10).

§ 19. Уравнения равновесия стержней

Мы можем теперь перейти к выводу уравнений равновесия изогнутых стержней. Рассмотрим опять какой-нибудь из беско­нечно малых элементов стержня, вырезанный двумя бесконечно близкими сечениями, и вычислим, полную действующую на него силу. Обозначим силу внутренних напряжений, приложенную к площади сечения стержня, посредством F ¹). Компоненты этого вектора равны интегралам от оц по площади сечения:

F_i=\o_itdf. (19,1)

Если рассматривать два бесконечно близких сечения как поверх­ности оснований вырезаемого ими элемента стержня, то на верх­нее основание действует сила F + dF, а на нижнее — сила — F; их сумма есть дифференциал dF. Пусть далее К есть действу­ющая на стержень внешняя сила, отнесенная к единице его длины. Тогда на элемент длины dl действует внешняя сила К dl. Равно­действующая всех сил, действующих на этот элемент, есть, сле­довательно, dF + К dl. В равновесии эта сила должна обра­щаться в нуль. Таким образом, получаем

4-==-К. (19,2)

¹) Обозначение этой силы посредством F не может привести к смешению со свободной энергией, которой мы не пользуемся ниже, в §§ 19—21.

Второе уравнение получается из условия равенства нулю полного момента сил, приложенных к данному элементу. Пусть М есть момент сил внутренних напряжений, действующих на пло-

щадь сечения стержня. Этот момент берется относительно точки (начала координат), лежащей в самой плоскости этого сечения; его компоненты определяются формулами (18,6). Будем вычис­лять суммарный момент, приложенный к данному элементу стержня, относительно точки (назовем ее точкой О), лежащей в плоскости его верхнего основания. Тогда внутренние напряже­ния на этом основании дают момент М + dfA. Момент же (отно­сительно О) сил внутренних напряжений в нижнем основании элемента складывается из момента — М этих сил относительно качала координат в плоскости нижнего основания (точка О') и момента (относительно О) суммарной силы — F, действующей на этом основании. Этот второй момент равен [(—dl) (—F)], где dl — вектор элемента длины стержня от О' к О. Момент же, обусловленный внешними силами К, является малой величиной высшего порядка. Таким образом, полный действующий на эле­мент стержня момент сил есть dN\ + [dlF]. В равновесии он должен быть равным нулю:

dm + [dlF] = 0.

Разделив это равенство на dl и замечая, что dMdl = t есть единич­ный вектор касательной к стержню {рассматриваемому как ли­ния), получаем уравнение

-7jf-=[Ft]. (19,3)

Уравнения (19,2) и (19,3) представляют собой полную систему уравнений равновесия произвольным образом изогнутого стержня.

Если действующие на стержень внешние силы являются, как говорят, сосредоточенными, т. е. приложены только к отдельным изолированным его точкам, то на участках стержня между точ­ками приложения сил уравнения равновесия заметно упро­щаются. Из (19,2) имеем при К = 0

F = const, (19,4)

т. е. силы внутренних напряжений постоянны вдоль длины каж­дого из указанных участков стержня. Значения этих постоянных определяются тем, что разность F₂ — F_x значений силы в точ­ках 1 и 2 равна

F₂ - F_t = - £ К, (19,5)

где сумма берется по всем силам, приложенным к отрезку стержня между точками / и 2. Обращаем внимание на то, что в разности F₂ — F_x точка 2 является более удаленной от начала отсчета длины стержня (т. е. длины дуги /), чем точка /; это замечание существенно при определении знаков в равенстве (19,5). В част­ности, если на стержень действует всего одна сосредоточенная сила f, приложенная к его свободному концу, то F постоянно вдоль всей длины стержня и равно f.

Второе уравнение равновесия (19,3) тоже упрощается. Написав в нем t — d\ldl = drldl (где г — радиус-вектор от некоторой заданной точки к произвольной точке стержня) и интегрируя, получаем ввиду постоянства F

М = [Fr] + const. (19,6)

Если же отсутствуют также и сосредоточенные силы, а изгиб стержня происходит под действием приложенных к нему сосредо­точенных моментов (т. е. сосредоточенных пар сил), то F = const вдоль всей длины стержня, а М испытывает в точках приложения сосредоточенных пар скачки, равные их моментам.

Обратимся, далее, к вопросу о граничных условиях на кон­цах изгибаемого стержня. Здесь могут представиться различные случаи.

Конец стержня называют заделанным (рис. 4, а см. с. 66), если он не может испытывать никаких смещений — ни продоль­ных, ни поперечных, и, сверх того, не может измениться его на­правление (т. е. направление касательной к стержню в его конце). В этом случае граничные условия заключаются в том, что за­даются координаты конца стержня и единичный вектор касатель­ной t к нему. Сила же и момент сил реакции, действующие на стержень со стороны опоры в точке закрепления, определяются в результате решения уравнений.

Противоположным является случай свободного конца стержня. В этом случае координаты конца и его направление произвольны. Граничные условия заключаются в том, что сила F и момент сил М на конце стержня должны обратиться в нуль ¹).

Если конец стержня закреплен на шарнире, то он не может испытывать никаких смещений, но его направление не задано. Момент сил, действующих на такой свободно поворачивающийся конец, должен исчезать.

Наконец, если стержень оперт в некоторой точке опоры (рис. 4, б), то он может скользить по этой точке, но не может испытывать в ней поперечных смещений. В этом случае незадан­ными являются направление t и положение точки, в которой опирается стержень, по его длине. Момент сил в точке опоры должен быть равным нулю соответственно тому, что стержень может свободно поворачиваться, а сила F в этой точке должна быть перпендикулярна к стержню; продольная компонента силы вызвала бы дальнейшее его скольжение в точке опоры.

¹) Если к свободному концу приложена сосредоточенная сила f, то гранича ное условие гласит не F = 0, a F = f.

Аналогичным образом легко установить граничные условия и при других способах закрепления стержня. Мы не будем оста­навливаться здесь на этом, ограничившись приведенными типич­ными примерами.

§ 19]

УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ СТЕРЖНЕЙ

Уже в начале предыдущего параграфа было отмечено, что сильный изгиб стержня произвольного сечения сопровождается, вообще говоря, одновременным его кручением, даже если к стер­жню не прилагается никаких внешних крутящих моментов. Исключением является изгиб стержня в его главных плоскостях. При таком изгибе кручение не возникает. У стержня кругового сечения никакой изгиб не сопровождается кручением (если, конечно, нет внешних крутящих моментов). В этом можно убе­диться следующим образом. Кручение определяется компонен­той q_£ = (Ш) вектора Й. Вычислим его производную по длине стержня. Для этого пишем, замечая, что Q_s = М^/С:

^d _(Ш\ _ с ^dQi - ^т t I м ^dt -агт)-^-аГ ~^Г^х+^т dt •

При подстановке (19,3) первый член обращается в нуль, так что

dl dl

У стержня кругового сечения /_х = /₂ = /; согласно (18,3) и (18,6) можно поэтому написать М в виде

m = El[t-~]+tCQ_z. (19,7)

При умножении на dildl оба члена дают нуль, так что dQ^/dl = 0, откуда

fij = const, (19,8)

т. е. угол кручения постоянен вдоль стержня. Если к концам стержня не приложено крутящих моментов, toJJj на концах равно нулю, а потому кручение отсутствует и по всей длине стержня.

Для стержня кругового сечения можно, таким образом, на­писать при чистом изгибе

М-и[|-5-]-иГ*-£]. (,9,9)

Подстановка этого выражения в (19,3) приводит к уравнению чистого изгиба стержней кругового сечения в виде

"[-£-■£■]-['-£-]• да¹⁰»

Задачи

1. Привести к квадратурам задачу об определении формы стержня круго­вого сечения (упругого прута), сильно изогнутого в одной плоскости приложен­ными к нему сосредоточенными силами.

Решение. Рассматриваем участок стержня между точками приложения сил; на таком участке F = const. Выберем плоскость изгиба в качестве пло­скости х, у, а ось у — параллельно силе F. Вводим угол 6 между касательной к линии стержня и осью у. Тогда dxldl = sin 6, dyldl = cos 6, где x, у — коор.

динаты точек стержня. Раскрывая векторные произведения в (!9,Ю), получаем уравнение для 9 как функции длины дуги /

IE

Первое интегрирование дает IE

dl*

■ F sin 6 = 0.

F cos 9 = c_x

и отсюда

(1)

л Г IE С d£

Vct. —Fcos9

Функция 9 (/) может быть выражена отсюда через эллиптические функции. Для координат х— | sin 0 dl, у = | cos 9 dl получаем

I^cos 0₉ — cos 9

Форма стержня определяется формулами

п/2

jc=У*!£- (KEoI^-^cosOo-cose),

cos9rf9

I^cos 0„ —- cos 0

3. To же, если сила f, приложенная к свободному концу, нанравлеиа iia-i раллельно линии недеформированного стержня.

S 191

уравнения равновесия стержней

Решение. Имеем F = —f (оси координат выбраны указанным на рис. 16 образом). Граничные условия: 9=0 при / = 0, 0/ = О при 1= L. Имеем

V^costi— cos9₀ '

где 9₀ определяется из I (0_О) = L, Для х и у получаем

]/-—-(V1 — cos в₀— KcosO-cosO,),

cosfl (

V^cos 9 — cos ©о

При слабом изгибе 6₀ < 1 и можно написать:

е.

V t J }'% — & 2 f / '

т. e. G₀ выпадает из этого соотношения. Это показывает, в согласии с резуль­татом задачи 3 § 21, что рассматриваемое решение существует только при / >;> n²IElAL², т. е, после потери устойчивости прямолинейной формой.

4. То же, если оба конца стержня оперты, а к его середине приложена сила f; расстояние между точками опоры есть

Решение, Выбираем оси координат указанным на рис, 17 образом. Сила F постоянна на каждом из участков А В и ВС, причем на каждом из них перпендикулярна к линии стержня в точках опоры — соответственно Л и С. Разность значений F на А В и ВС равна f, откуда заключаем, что на АВ F sin fle = = —//2, где 0_О — угол между осью у и линией АС. В точке А (I = 0) имеем усло­вия 6 = я/2 и М»» 0, 1. е, 6' = 0, так что на Л В

л/2

IE, „ \1/2

. cos9

я/2

Угол 9₀ определяется из условия, что проекция длины АВ на прямую Л С должна быть равна LJ2, откуда имеем

П/2

L* (^1Е -„о V^/2 Г cos(0-e_o) „

/ IE.. \i/2 j-

2 \ / """»/ J ^iuTe

При некотором определенном значении 0_О) лежащем между 0 и я/2, производная df/rf6₀ (где / рассматривается как функция от 0_О) обращается в нуль и делается положительной. Дальнейшему уменьшению 6₀, т. е. увеличению прогиба, соот­ветствовало бы уменьшение /. Это значит, что найденное решение делается не­устойчивым; стержень «проваливается» между опорами.

5. Привести к квадратурам задачу о пространственном сильном изгибе стержня под действием сосредоточенных сил.

Решение. Рассматриваем участок стержня между точками приложе­ния сил, на котором F = const. Интегрируя (19,10), получаем

(1)

постоянная интегрирования написана в виде вектора cF, направленного вдоль F, поскольку надлежащим выбором начала координат, т. е. прибавлением к г некоторого постоянного вектора, можно исключить аддитивный вектор, перпен­дикулярный к F. Умножая (1) скалярно и векторно на г' (штрих означает диф­ференцирование по I) и замечая, что г'г* = 0 (поскольку г' = 1), получаем

F [it'] + cFr' = 0, Eh" = [[Ft] r'J + с [Fr'J. В компонентах (ось г выбрана по направлению F)

(ху' — ух') + сг' == 0, Elf = — F (хх' + уу'). Вводя в этих уравнениях цилиндрические координаты г, <р, г, получаем

r*q>' + сг' = 0, Е1г" = — Frr'. (2)

Из второго уравнения имеем

где А — постоянная. Комбинируя (2) и (3) с тождеством

Г'З _j_ _Г2_ф'И _{+ г}<2 ₌ j,

получаем

rdr Г F^% Т1/2

после чего из (2) и (3) находим

F е (А — r²)r. cF t А — г*,

^г=-тг\ _G(r) ^dr' ^ф= —m-]-iGW^dr*

чем и определяется форма изогнутого стержня,

6. Стержень кругового сечения подвергнут кручению (угол кручения т) и изогнут в винтовую линию. Определить силу и момент сил, которые должны быть приложены к концам стержня для того, чтобы удерживать его в таком со­стоянии.

Решение. Пусть R — радиус цилиндра, на поверхности которого навита винтовая линия (ось z выбираем по оси этого цилиндра), а а — угол между ка­сательной к линии и плоскостью, перпендикулярной к оси г; шаг винтовой ли­нии h связан с а и R посредством h = 2nR tg а. Уравнения винтовой линии:

x = R cos q>, у = R sin ф, г = q>/? tg a

(ф — угол поворота вокруг оси г); элемент длины дуги dl= Rdy/cosa. Под­ставляя эти выражения в (19,7), вычисляем компоненты вектора М, а затем по формуле (19,3) — силу F (постоянную вдоль всей длины стержня). В резуль­тате находим, что сила F направлена по оси г и равна

„ „ _ sin a EI.

F_Z = F = Ст —= ^- cos² a sin a.

R R*

Момент M имеет составляющую по оси z:

EI

m_z = Ст sin a + —g- cos³ a

и составляющую М_ф, направленную в каждой точке стержня по касательной к окружности поперечного сечения цилиндра, равную М_ф = FR.

7, Определить форму гибкой нити (сопротивлением которой на изгиб можно пренебречь по сравнению с сопротивлением на растяжение), подвешенной за две точки в поле тяжести.

Решение, Выбираем плоскость, в которой расположена нить, в каче­стве плоскости х, у с осью у, направленной вертикально вниз. В уравнении (19,3) можно пренебречь членом dfAldl, поскольку М пропорционально EI. Тогда [Ft j = 0, т. е. F направлено в каждой точке нити по t и можно написать F = = Ft, Уравнение (19,2) дает теперь

(q — вес единицы длины нити), откуда

dl ~^{Ct t} dl ~^ql-

Отсюда имеем F = Y^c% + <7²^², так что

dx a dy

dl ' ^dl VA*+ I*

(где A = clq). Интегрирование дает

x=4Arsh-i-, y = VA* + l\

откуда

Ach 4",

т. е. нить имеет форму цепной линии. Выбор начала координат и постоянная^ А определяются тем, что кривая должна пройти через две заданные точки и должна иметь заданную длину.

§ 20. Слабый изгиб стержней

Уравнения равновесия значительно упрощаются в практически важном случае слабого изгиба стержней. Изгиб является слабым, если направление касательной t к стержню медленно меняется вдоль его длины, т. е. производная dt/dl мала. Другими словами, радиус кривизны изогнутого стержня в каждой точке должен быть велик по сравнению с длиной' стержня. Практически это условие сводится к требованию малости поперечного' прогиба, стержня по сравнению с его длиной. Подчер-кнем, что при этом отнюдь не требуется малости прогиба по сравнению с толщиной. стержня, как это должно было быть в приближенной теории сла­бого изгиба пластинок, развитей в- §§ 11—12''). Продифференцируем (19,3) по длине:

*-[■§-•]+[«■■§-]• №>

Второй член содержит малую величину вследствие чего им

Дата добавления: 2014-11-07