P.S. Не забудьте прихватить с собой небольшой сувенирчик. Будем обмениваться подарками. 3 страница

обычно (за исключением некоторых особых случаев, о которых речь идет ниже) можно пренебречь. Подставляя В' первом: члене dfldl = —К, получаем, уравнение равновесия в виде

= ft К]. сад

Напишем это уравнение в компонентах, для чего подставим в него, согласно (18,6) и (18,9),

М_х = — E^Y', My = EI₂X\ M_z - 0 (20,3)

(знак ' означает везде дифференцирование по г). Единичный вектор t можно считать направленным по оси г. Тогда мы полу­чим

EI_tX^v- — К_х = 0, Е1,У"-! — Ky = Q. (20,4)

Эти уравнения определяют зависимость прогибов X и Y от г, т. е. форму слабо изогнутого стержня.

Силу F внутренних напряжений, действующую на поперечное сечение стержня, также можно выразить через производные от X и Y. Подставляя (20,3) в (19,3), получаем

F_x = -EI₂X"', F_v = -EI.Y'"-. (20,5)

Мы видим, что вторые производные определяют момент сил вну­тренних напряжений, а третьи производные определяют сами эти силы. Силу (20,5), называют перерезывающей силой. Если изгиб производится сосредоточенными силами, то перерезыва­ющая сила постоянна вдоль каждого из отрезков стержня между точками приложения сил, а в каждой из этих точек испытывает скачок, равный приложенной внешней силе.

*). Мы не излагаем вовсе сложной теории изгиба стержней, которые в своем естественном, недеформированном, состоянии имеют изогнутую форму (ограни­чиваясь лишь одним простым примером в задачах 8, 9 этого параграфа).

Величины Е1₂ и Е1_г называют жесткостью стержня на изгиб соответственно в главных плоскостях х, г и у, z *).

Если приложенные к стержню вдешние силы действуют в одной плоскости, то и изгиб стержня произойдет в одной плоскости. Эти две плоскости, однако, в общем случае не совпадают друг с другом; легко найти угол между ними. Если а — угол между плоскостью действия сил и первой главной плоскостью изгиба (плоскостью х, z), то уравнения равновесия принимают вид

V"" cos я тг \rnlt Sin 05 rr

Оба уравнения отличаются только коэффициентом при К- Поэтому X и Y пропорциональны друг другу, причем

Y — X

Угол О между плоскостью изгиба и плоскостью х, z определяется равенством

tgB = -JMga. (20,6)

Для стержня кругового сечения 1_Х = /₂ и а = 6, т. е. изгиб происходит в плоскости действия сил. То же самое имеет место и для стержня произвольного сечения при «= 0, т. е. когда силы направлены в главной плоскости. Для абсолютной величины прогиба

имеет место уравнение

Щ"" = *С, , ^hh (20,7)

*) Уравнением вида dx"" — К_х = 0 (20,4а) описывается также в определенных предельных случаях и изгиб тонкой пла­стинки. Пусть прямоугольная пластинка (с длинами сторон а и Ь и толщиной К) укреплена вдоль своих сторон а (направление у) и изгибается вдоль сторон & (ось г) однородной вдаль оси у нагрузкой. В Общем случае произвольных м н b для определения изгиба должно быть использовано двухмерное уравнение (12,5) с соответствующими граничными условиями на укрепленных и на свобод­ных сторонах пластинки. В предельном случае а ~з> Ь деформацию можно считать однородной вдоль оси у, и тогда двухмерное уравнение равновесия переходит в уравнение вида (20,4а), причем роль жесткости на изгиб играет величина d = Я/Ра/12 (1 — а²). Уравнение (20,4а) применимо и в обратном предельном случае а <С Ь, когда пластинку можно рассматривать -как стержень длины b с узким прямоуголь­ным сечением (сечение в виде прямоугольника со сторонами а и А); при этом, однако, жесткость на изгиб определяется другим выражением d = ei, = eh³al12.

У Г{ cos- а + l\ sin² а

Перерезывающая сила F лежит в той же плоскости, что и К, и равна

F - — £/£"'• (20,8)

Величина / играет роль эффективного значения момента инерции сечения стержня.

Напишем в явном виде граничные условия для уравнений равновесия слабо изогнутого стержня. Если конец стержня за­делан, то на нем должно быть X — Y = 0 и, сверх того, не может измениться его направление, т. е. должно быть X' = Y' = 0. Таким образом, на заделанном конце стержня должны выпол­няться условия

X — Y = 0, X' = Y' = 0. (20,9)

Сила же и момент сил реакции в точках опоры определяются по известному решению формулами (20,3) и (20,5).

При достаточно слабом изгибе стержня закрепление его конца в шарнире и опирание его в точке эквивалентны в отношении граничных условий. Дело в том, что во втором случае продольное смещение стержня в точке опоры является при слабом изгибе величиной второго порядка малости по сравнению с поперечным прогибом и потому должно считаться равным нулю. Граничные условия исчезновения поперечного смещения и момента сил дают в этих случаях

X = Y = 0, X" = Y" — 0. (20,10)

Направление же конца стержня и сила реакции в точке опоры определяются в результате решения уравнений.

Наконец, на свободном конце должны отсутствовать сила F и момент сил М. Согласно (20,3) и (20,5) это приводит к условиям

X"- = Y" = О, X'" = Y'" = 0 (20,11)

(если к свободному концу приложена сосредоточенная сила, то F должно быть равно этой силе, а не нулю).

Нетрудно обобщить уравнения (20,4) на случай стержней переменного сечения. У таких стержней моменты инерции /_х и /_а являются функциями z. Формулы (20,3), определяющие моменты сил в каждом данном сечении стержня, по-прежнему остаются справедливыми. Подстановка их в (20,2) приводит теперь к уравнениям

*£-('.■£)-** *-£■('.■£-)-*- (».«)

в которых 1_Х и /₂ нельзя вынести из-под знака производной. Для перерезывающей силы имеем

4('•-£)■ '.--*-£-('.тг)- <²°.'³>

Вернемся снова к уравнениям (20,1). Произведенное нами пренебрежение вторым членом в правой стороне равенства может оказаться в некоторых случаях незаконным даже при слабом изгибе. Это — те случаи, в которых вдоль длины стержня дей­ствует большая сила внутренних напряжений, т. е. F_z очень велико. Наличие такой силы вызывается обычно сильным натя­жением стержня приложенными к его концам внешними растя­гивающими силами. Обозначим действующее вдоль стержня постоянное натяжение посредством F_z = Т. Если стержень под­вергается сильному сжатию, а не растяжению, то сила Т отри­цательна. Раскрывая векторное произведение [F dt/dt], мы должны теперь сохранить члены, содержащие Т, членами же с F_x и F_y можно по-прежнему пренебречь. Подставляя для ком­понент вектора dtldl соответственно X", Y", 1, получим уравнения равновесия в виде

1₂ЕХ"" — ТХ" — К_х = 0,

(20,14)

ljEY"- — TY" — К_у = 0.

К выражениям (20,5) для перерезывающей силы надо прибавить теперь члены, равные проекциям действующей вдоль вектора t силы Т на оси хну:

F_x = —Е1₂Х"-'- + ТХ', Fy = —E/jY"-'- + TY'. (20,15)

Эти формулы могут быть, конечно, получены и непосредственно из (19,3).

Большая сила Т может в некоторых случаях появиться и в ре­зультате самого изгиба, даже если нет никаких специально при­ложенных растягивающих сил. Рассмотрим стержень, оба конца которого заделаны или закреплены на шарнирах в неподвижных опорах, так что не могут испытывать продольного смещения. Тогда прогиб стержня неизбежно сопровождается его удлине­нием, что и приводит к появлению в нем силы Т. Легко оценить величину прогиба, при котором эта сила делается существенной. Длина L + AL изогнутого стержня равна интегралу

L + AL = J /l+X'" + y'⁸dz,

о

взятому по прямой, соединяющей точки опоры. При слабом изгибе можно разложить корень в ряд, и мы получаем для удли­нения AL выражение

AL = -i-1 (Х'^г- + Y'²)dz. о

Возникающая при простом растяжении сила натяжения равна относительному удлинению, умноженному на модуль Юнга и на площадь 5 сечения стержня. Таким образом, сила Т равна

L

7 =-f£-J (X'² + ГV*. (20,16)

о

Если б есть порядок величины поперечного прогиба, то про­изводные X' и У — порядка б/L, так что весь интеграл, стоящий в (20,16), — порядка величины (6/L)² L = 6²/L и Т ~ ES (б//.)². Порядок величины первых и вторых членов в (20,14) — соответ­ственно IE6JL* и Тб/L⁸ <~ £S6³/L*. Момент инерции / имеет по­рядок величины / ~ A⁴, a S ~ Л², где h — толщина стержня". Подставляя это, легко получаем, что первые и вторые члены в (20,14) сравниваются по порядку величины при б ~ h.

Таким образом, при изгибе стержней, концы которых закреп­лены, можно пользоваться уравнениями равновесия в виде (20,4), только если прогиб мал по сравнению с толщиной стержня. Если же б не мало по сравнению с h (но, конечно, по-прежнему б < L), то надо пользоваться уравнениями {20,14). При этом сила Т в этих уравнениях заранее неизвестна. При их решении надо сначала рассматривать Т как заданный параметр, а затем по полученному решению определить Т согласно формуле (20,16), чем и определится связь Т с приложенными к стержню изгиба­ющими силами.

Обратным предельным случаем валяется тот, когда сопротив­ление стержня на изгиб мало по сравнению с его сопротивлением на растяжение, так что в уравнениях (20,14) можно пренебречь первыми членами по сравнению со вторыми. Физически такой случай может быть осуществлен либо очень сильным растяже­нием Т, либо при достаточно малом EJ, что может быть связано с мглой толщиной h (о сильно натянутых стержнях говорят как о струнах). Уравнения равновесия гласят в этих случаях:

ТХ" + К_х = 0, TY- + К_у = 0. (20,17)

Концы струны надо представлять себе закрепленными в том смысле, что их координаты заданы, т. е.

X = Y = 0. (20,18)

Направление же концов не может быть задано произвольным сбразом, а определяется решением уравнений.

В заключение покажем, каким образом уравнения равновесия слабо изогнутого стержня можно получить, исходя из вариацион­ного принципа, используя выражение (18,10) для упругой энер­гии:

F_c, = -^\\hYⁿⁱ + ^\dz.

В равновесии должна быть минимальна сумма этой энергии и потенциальной энергии, связанной с действующими на стержень внешними силами К, т. е. должно быть

bF_CT - J (К_х ЬХ + К_у bY) dz = 0

(второй член представляет собой работу внешних сил при беско­нечно малом смещении линии етержня). При варьировании F_CT производим дважды интегрирование по частям:

4- б JX"²dz== jX" ЬХ" dz=X" ЬХ' | - JX'" ЬХ' dz=

= X''bX'\~X'"bx\+\X""bXdz

и аналогичным образом для интеграла от Y"². Собирая различные члены, получим

JKEIjY""~ Ку)ЬУ + (EI_tX""- К_х)bX]dz+

+Eh (Y" bY' - Y" bY) I+£/₂(X"ЬХ'- Х'"ЬХ)| = 0.

Из первого, интегрального, члена следуют ввиду произвольности вариаций ЬХ и bY уравнения равновесия (20,4). Остальные же, проинтегрированные, члены дают граничные условия к этим уравнениям; так, на свободном конце вариации ЬХ, 67, ЬХ', bY'- произвольны и соответственно получаются условия (20,11). В то же время коэффициенты при ЬХ й 6У в этих членах дают выражения (20,5) для компонент перерезнвающей силы, а коэф­фициенты при йХ¹ и bY'- — выражения (20,3) для компонент изги­бающего момента.

Наконец, уравнения равновесия (20,14) при наличии растя­гивающей силы Т можно получить тем же способом, прибавив к варьируемой энергии величину

Т AL =4J-J(X'²+ Y'²)dz,

представляющую собой работу силы Т на пути AL — удлинении стержня.

Задачи

1. Определить форму прогиба стержня (длины /) под влиянием собствен­ного веса при различных способах закрепления его концов.

Решение. Искомая форма определяется решением уравнения

= qlEI

(q — вес единицы длины стержня) с теми или другими граничными условиями на его концах, сформулированными в тексте. При различных способах закрепле­ния концов стержня получаются следующие формы прогиба и максимальные смещения (так называемые стрелки прогиба); начало координат везде выбрано в одном из концов стержня.

а) Оба конца стержня заделаны:

384 El

t-Tfe-'f-o-. £(т)Ч

I \ _ 5 qt* 384 El

б) Оба конца оперты:

+с(4-)

в) Один конец (г = /)■ заделан, а другой (г = 0) оперт:

С = ТИ?7- ² (^2г3 - ^3iz* + ^/3)' С (0,42/) = 0,0054 -

48£/ ^{v 1} " tov.—/ _£/ •

г) Один конец (г = 0) заделан, а другой (г = /) свободен:

с—sir *<*-««+«">. ^s(,) = t-Ir-

2. Определить форму прогиба стержня под влиянием приложенной к его
середине сосредоточенной силы /.

Решение. Везде, кроме точки г = 1/2, имеем уравнение £,"" = 0, Гра-
ничные условия в концах стержня (г = 0 и г = /) определяются способом закре-
пления; в точке же г = 1/2 должны быть непрерывны £, а разность пере-
резывающих сил F — —Ell," по обе стороны этой точки должна быть равна
силе /.

Форма стержня (на участке 0 <: г ^ 1/2) и стрелка прогиба даются следу­ющими формулами.

а) Оба конца стержня заделаны:

е=«17-^г2<³'-^4г>> с(тЬтшт-

б) Оба конца стержня оперты:

^ = i8ir^z<^3ia-⁴²²b s(t)-w-

Форма стержня симметрична относительно его середины, так что функция £ (г) на участке 1/2^2^. / получается отсюда просто заменой г на / — г.

3. То же для стержня, один из концов которого (г = 0) заделан, а другой
(z=/) свободен, причем к последнему приложена сосредоточенная сила f.

Решение. Вдоль всего стержня F = const = /, так что £"' = — f/El, С условиями £ = 0, £ = 0 при г = 0 и £" = 0 при г = / получаем

£=-«4г*²(з/-2), ио=-^//3

6Е1 ^v " ^bv ' ЗЕ1 '

4. Определить форму прогиба стержня с закрепленными концами под влия нием сосредоточенной пары сил, приложенной к его середине.

Решение. Вдоль всей длины стержня £*" = 0, а в точке г = 1/2 момент М = £7£" испытывает скачок, равный моменту m приложенной сосредоточен­ной пары. С соответствующими условиями на концах получим:

а) Оба конца стержня заделаны:

1 = -~_тг*(1-2г) при 0<2<//2,

24Е11

б) Оба конца закреплены в шарнирах: т

■ г (i^a — Щ при 0 < г < 1/2,

^--шп^{-¹~^г){1г-^А{1-^г)'^{] при 1}'²<¹<^и

По обе стороны от точки г = 1/2 стержень изогнут в разные стороны.

5. То же, если сосредоточенная пара приложена к свободному концу стерж-
ня, другой конец которого заделан.

Решение. Вдоль всей длины стержня имеем М = Eli" = m, а в точке г = 0: £ = 0, £' = 0. Форма изгиба дается формулой

^fc 2Е1 ^г '

6. Определить форму стержня (кругового сечения) с закрепленными в шар-
нирах концами, растягиваемого силой т и изгибаемого силой /, приложенной
к его середине.

Решение» На отрезке 0 ^ г ^ 1/2 перерезывающая сила равна //2, так что (20,15) дает уравнение

т f

I"-------- —- £' г- '

El ^fc 2EI '

Граничные условия: £ = 0, {' = 0 при г = 0,1, а при t= U2 должно быть £' = 0 (в силу непрерывности £'). Для формы стержня (на отрезке 0 ^ г ^ 1/2) полу­чим формулу

^E-'^Wz •

При малых й это выражение переходит в формулу, полученную в задаче 2, б. При больших же значениях k оно переходит в

£ = -|jjt-z,

т. е., в согласии с уравнением (20.17), гибкая нить принимает под влиянием силы / форму, составленную из двух прямых отрезков, пересекающихся в точ­ке 2 = 112.

Если сила Т сама возникает в результате растяжения стержня поперечной силой, то для ее определения надо воспользоваться формулой (20,16). Подста­вив в нее полученное выражение, найдем уравнение

8ЕЧ*

1 Г 3. 1... Ы 3,. kl I

f [ 2 ^т 2 2 kl 2 j" PS '

определяющее в неявном виде т как функцию от /,

7. Стержень (кругового сечения) бесконечной длины лежит на упругом основании, т. е. при изгибе на него действует сила /С = —а£, пропорциональная црогибу. Определить форму, принимаемую стержнем-при действии на него со­средоточенной силы f.

Решение. Выбираем начало координат в точке приложения силы /, Везде, кроме точки г = 0, имеет место уравнение

Е1\г = -а£.

выражение для перерезывающей силы

и выражение для изгибающего момента

а*

EI

М-

(С + Г)

(ср. конец § 20), Постоянная а определяется условием отсутствия общего растя" жения стержня.

9. Определить деформацию кругового кольца, изгибаемого двумя сосредо­точенными силами /, действующими вдоль диаметра (рис. 18).

Решение. Интегрируя уравнение (1) по всей длине кольца, найдем, что

2jkwj= JК_га Лр = 2/.

Везде, кроме точек <р = 0 и ф = я, имеем уравнение (i) с К_г — 0:

Г" + 2Г + С + _^7-=0.

Искомая деформация кольца симмет­рична относительно диаметров АВ и CD, в силу чего в точках А, В, С, D должно быть £'=0. Разность значений перерезывающей силы при <р-+±0 должна быть равна /. Удовлетворяющее этим условиям решение уравнения равнове­сия есть

/а³ /1,1 я 1. \ „ ^ ^

£ = -£7" [j? + -4-<pcos<p — -д-соэф—^-sin, 0<ф<я.

В частности, точки Л и В взаимно сближаются на величину

§21. Устойчивость упругих систем

Поведение стержня, подверженного воздействию продольных сжимающих сил, представляет простейший пример важного явления упругой неустойчивости, впервые обнаруженного Л. Эйлером.

При отсутствии поперечных изгибающих внешних сил К_х, K_v уравнения равновесия сжатого стержня (20,14) имеют очевидное решение X = Y — 0, соответствующее стержню, остающемуся при воздействии продольной силы Т прямолинейным. Это решение, однако, соответствует устойчивому равновесию стержня лишь до тех пор, пока сжимающая сила \Т\ остается меньше некоторого критического значения Т_кр. При | "7" 1 < Т_кр прямо­линейная форма стержня устойчива по отношению к произволь­ному малому возмущению. Другими словами, если под влиянием какого-либо малого воздействия стержень подвергается слабому изгибу, то по прекращении этого воздействия стержень будет стремиться вернуться в исходное состояние.

Напротив, при | Т | > Г_кр прямолинейная форма отвечает неустойчивому равновесию. Достаточно уже бесконечно малого воздействия (изгиба) для того, чтобы равновесие нарушилось, в результате чего произойдет сильный изгиб стержня. Ясно, что в этих условиях сжатый стержень вообще не сможет реально существовать в неизогнутом виде.

Поведение стержня после потери им устойчивости должно описываться уравнениями сильного изгиба. Однако самое значе­ние критической нагрузки Т_нр может быть получено с помощью уравнений слабого изгиба. При | Т\ = Гщ, прямолинейная форма стержня соответствует некоторому безразличному равновесию. Это, значит, что наряду с решением X = Y — 0 должны суще­ствовать еще и состояния слабого изгиба, которые тоже являются равновесными. Поэтому критическое значение Т_кр можно опре­делить как то" значение |Т|, при котором у уравнений

Е1_гХ'-'-^и + \Т\Х" = 0. f/jV"" + | Т | У^! = 0 (21,1)

появляется отличное от нуля решение. Само же это решение определяет характер деформации, которой подвергнется стержень непосредственно после потери им устойчивости.'

В задачах этого параграфа приведен ряд типичных случаев потери устойчивости различными упругими системами.

Задачи

1. Определить критическую сжимающую силу для стержня с шарнирно
закрепленными концами.

Решение. Поскольку нас интересует наименьшее значение |7"|, при котором появляется отличное от нуля решение уравнений (21,1), то достаточно рассмотреть лишь то из этих двух уравнений, которое содержит меньшее из hi hi пусть /₂ < h- Ищем решение уравнения

Е1₂Х"'^! + \ Т\Х"= 0

в виде

Х= А+ Вг+ Csinfa+Dcosfe, k= (| 7 |/£7₂) *^/з.

Отличное от нуля решение, удовлетворяющее условиям X — 0, X" = 0 при г — 0 и 2 = /, есть

X = С sin kz,

причем должно быть sin kl = 0. Отсюда находим искомую критическую силу

Г_кр = я²£7₂//².

После потери устойчивости стержень примет форму, изображенную на рис. 19, а,

2. То же для стержня с заделанными концами (рис. 19, б).
Решение. Г_кр = 4п²£/₂//².

3. То же для стержня, один из концов которого заделан, а другой свободен
(рис. 19, в).

Решение. Т_кр = я²£/₂/4/².

4. Определить критическую сжимающую силу для стержвя (кругового се­чения) с шарнирно закрепленными концами, лежащего на упругом основании (см. задачу 7 § 20).

Решение. Вместо уравнений (21,1) здесь надо рассмвтреть уравнение

■■ Л sin

ия ~т~

Е1Х""- + | Т | X"- + аХ = 0. Аналогичное исследование приводит к решению

я²£/ /„. а/<

п²я⁴£/

причем для п должно быть взято то из целых значений, для коНэрого получается наименьшее значение Т_Кр. При достаточно больших значениях а получается и > 1, т. е. после потери устойчивости стержень принимает форму с несколь­кими пучностями.

5. Стержень кругового сечения подверг­нут кручению, и его концы заделаны. Опре­делить критическую величину кручения, после которой прямолинейная форма стер­жня делается неустойчивой.

а)

Решение. Критическое значение угла кручения определяется появлением отличных от нуля решений уравнений сла­бого изгиба закрученного стержня. Для вы­вода этих уравнений подставляем выраже­ние (19,7):

М = £7

+ Cit

(т — постоянный угол кручения) в уравнение (19,3); это дает

El

^Ст"Ш—^{[Ft] = 0}-

Дифференцируем это уравнение; поскольку изгиб слабый, то при дифференци­ровании первого и третьего членов можно считать t постоянным, равным век­тору t₀, направленному по оси стержня (оси г). Помня также, что dF/dl = 0 (внешние силы по длине стержня отсутствуют), получаем

£/[t₀4i]+CT-^-=0,

или в компонентах:

ух __хх^я = 0, X"" + нУ = 0,

где х = Ст/£/. Введя в качестве неизвестной функцию | = X -J^ iY, получим уравнение

6«- йсБ" = о.

Ищем решение, удовлетворяющее условиям % = 0, |' = 0 при г = 0, I в виде Б = а(1 +гх2 — е^Ы2) + Ьг\

и находим в качестве условия совместности для получающихся для а и b урав­нений соотношение

%1 2

Наименьший корень этого уравнения: и//2 = 4,49, так что

8,98£/ ^ткр ^_ С1 '

6. То же для стержня с шарнирно закрепленными концами.
Решение Здесь получается

причем х определяется из е*^к' = 1, т. е. xl = 2я. Поэтому искомый критиче­ский угол кручейия

т_кр = 2лЕ1/С1.

7. Определить предел устойчивости вертикального стержня, находящегося
под действием собственного веса; нижний конец стержня заделан.

Решение. Если продольное натяжение f_z = т меняется вдоль длины

стержня, то в первом члене в, (20,1) ^ ф 0 и вместо уравнений (20,14) по­лучается

/₂£Х"«— (тх')' — к_х = 0, l_xey"-" _ (jy'y _ к._у = 0.

В данном случае поперечные изгибающие силы отсутствуют по всей длине стержня, а т = —q (i — Z), где q — вес единицы длины стержня, a z отсчиты-вается от его нижнего конца. Предполагая, что /₂<3 h, рассматриваем урав­нение

1_гех^п=тх'=—q(l—z)x'

(при z - / автоматически имеем x" = 0). Общий интеграл этого уравнения для функции и = x' есть

где

Граничные условия x' = 0 при г = 0 и x" = 0 при г = i дают для функции и (т)) условия

2 / аР \1/2, „

и = 0 при Ч = % =-g-^-gT^)» и'т)'» = 0 при tj = 0.

Для того чтобы удовлетворить этим условиям, надо положить 6 = 0, причем ■'-i/,("По) ⁼ °^- Наименьший корень этого уравнения г\₀ = 1,87, откуда находим критическую длину стержня

4,_.._И (-f-f.

8. Стержень обладает вытянутой формой поперечного сечения, так что
/»~> h. Один конец стержня заделан, а к свободному концу приложена сила /,
изгибающая его в главной плоскости х, z (в которой жесткость на изгиб есть
Е1₂). Определить критическое значение /_кр, после которого плоская форма из-
гиба становится неустойчивой и стержень отгибается в боковую сторону (в пло-
скости у, г), одновременно испытывая кручение.

Решение. Ввиду большой величины жесткости Е1₂ по сравнению с Eli (и с жесткостью на кручение С)¹) неустойчивость по отношению к" сильному боковому изгибу возникает в то время, когда изгиб в плоскости х, z остается еще слабым. Для определения момента наступления неустойчивости надо соста­вить уравнения слабого бокового изгиба стержня, сохраняя в них члены, про­порциональные произведениям действующей в плоскости х, г_;-силы / на малые смещения. Поскольку сосредоточенная сила приложена лифь к свободному концу стержня, то вдоль всей его длины F = f, а на свободном конце (z = /) момент М = 0; по формуле (19,6) находим компоненты момента относительно закрепленной системы координат х, у, г;

М_я = 0, M_y = (l-z)f, M_Z=(Y-Y_u)f,

где Y_B = Y (/). Проецируем эти моменты на связанные в каждой точке со стерж­нем оси координат |, т|, £; с точностью до членов первого порядка по смещениям получим

Mg = <p(i-z)/, Мт, = — г)/,

Л*_£ = (/-г)/-^- + /(7-К₀),

где ф — полный угол поворота сечения стержня^при его за*ручивании (угол кручения т = dq>/dz здесь не постоянен вдоль длины стержня). С другой стороны, согласно (18,6) и (18,9) имеем при слабом изгибе

Mi = — EIJ", М_л = Е1_гХ", Mi = Сф'

и, сравнивая эти выражения, получим уравнения равновесия

EJ₂X" = (l-z)f,

EhY" = -ф (I - z) f, С_Ф' = (I - z) fY' -f- (У — У„) /.

Первое из этих уравнений определяет основной изгиб стержня в плоско­сти х, г; требуется иайти значение /, при котором появляется отличное от нуля решение у второго и третьего уравнений. Исключая из них Y, найдем

_ф" + k²(l — z)²<p = 0, k² = p/EIiC Общий интеграл этого уравнения есть

_Ф = a VT=z J_1/t (А (/ - г)*) + b V~z J__1/t (/ - z)*).

*) Так, для узкого прямоугольного сечения с шириной А и высотой b > А имеем

На заделанном конце (z = 0) должно быть ф = 0, а на свободном крутящий момент Сф' = 0. Из второго условия имеем а = 0, а первое дает J__lj,_i(kl²/2) — 0. Наименьший корень этого уравнения: kP/2 = 2,006, откуда

ГЛАВА III

УПРУГИЕ волны

Дата добавления: 2014-11-07