P.S. Не забудьте прихватить с собой небольшой сувенирчик. Будем обмениваться подарками. 6 страница

Другой тип дислокации можно наглядно представить себе как результат «разреза» решетки- по полуплоскости, после чего части

^J) Эта глава написана совместно с А. М, Косевичем

решетки по обе стороны разреза сдвигаются относительно друг друга на один период параллельно краю разреза (который назы­вается в этом случае винтовой дислокацией). Наличие такой дисло­кации превращает кристаллические плоскости в решетке в гели­коидальную поверхность (подобную винтовой лестнице без ступенек). При полном обходе вокруг линии дислокаций" (ось геликоидальной поверхности) вектор смещения узлов получает приращение на один период параллельно этой оси. На рис. 23 изображена схема описанного разреза.

С макроскопической точки зрения дислокационная деформа­ция кристалла как сплошной среды обладает в общем случае сле­дующим свойством! при обходе по любому замкнутому контуру L,

кристалла (ср. ниже примечание на стр. 152). Она должна выходить обоими концами на поверхность кристалла либо (как это обычно и бывает в реальных условиях) представлять собой замкнутую петлю.

Условие (27,1) означает, другими словами, что при наличии дислокации вектор смещения является неоднозначной функцией координат, получающей заданное приращение при обходе вокруг линии дислокации. Физически, разумеется, никакой неоднознач­ности нет: приращение b означает дополнительное смещение точек решетки на один из периодов, что вообще не меняет ее состояния. В частности, тензор напряжений a_lh, характеризующий упругое состояние кристалла, является однозначной и непрерывной функ­цией координат.

Для дальнейшего будет удобным ввести обозначение

^*=-§р (27,2)

с помощью которого условие (27,1) записывается в виде

w_lhdx_t = — b_h. (27,3)

Тензор w_lh (несимметричный) принято называть тензором дистор-сии. Его симметричная часть дает обычный тензор деформации

«№^elMata + bfcr). (27.4)

Тензоры w_lh и u_ik — однозначные функции координат, в проти­воположность неоднозначной функции и (г).

Условие (27,3) можно записать и в дифференциальном виде. Для этого преобразуем интеграл по контуру L в интеграл по какой-либо поверхности S_L, опирающейся на этот контур ^х):

§w^dx_m=\e_ilm^dh. (27,5)

L S_L

Поскольку тензор e_iXm антисимметричен по индексам /, т, а тен­зор dw_mfdxi = d²u_h/dxidx_m симметричен по этим же индексам, то подынтегральное выражение тождественно равно нулю везде, за исключением точки пересечения линии D с поверхностью S^, на самой линии дислокации, как линии особых точек, представление w_mk в виде производных (27,2) теряет смысл ¹). В этих точках величины w_ih надо определить с помощью соответствующей б-функции так, чтобы интеграл (27,5) приобрел требуемое значение —b_k. Пусть | — двухмерный радиус-вектор, отсчитываемый от оси дислокации в данной ее точке в плоскости, перпендикулярной вектору т. Элемент площади этой плоскости выражается через элемент df поверхности S_L как т df. По определению двумерной б-функции б (1) имеем

\Щ)хй1= <г_г J b{l)dU= 1.

Ясно поэтому, что для достижения поставленной цели надо поло­жить

"ит-^Г = -тАоф- (27,6)

Это и есть искомая дифференциальная завись условия (27,3).

Поле смещений и (г) вокруг дислокации может быть выражено в общем виде, если известен тензор Грина G_ih уравнений равнове­сия данной анизотропной среды, т. е. функция, определяющая смещение щ, созданное в неограниченной среде сосредоточенной в начале координат единичной силой, направленной вдоль оси x_k (см. § 8). Это легко сделать с помощью следующего формального приема.

Вместо того чтобы искать неоднозначные решения уравнений равновесия, будем рассматривать и (г) как однозначную функцию, условившись, что она испытывает заданный скачок b на некоторой произвольно выбранной поверхности S_D, опирающейся на дисло­кационную петлю D. Если и₊ и и_ — значения функции соответ­ственно на верхнем и нижнем берегах разрыва S_Di то

u₊ - и_ = Ь. (27,7)

(«Верхний» и «нижний» берега определены на рис. 24. Нормаль п к поверхности S_D, направленная по отношению к г указанным на рисунке образом, дает направление от нижнего берега к верх­нему). Интегрирование по контуру L от верхнего берега к нижнему дает тогда результат (27,3) с правильным знаком. Тензоры [tv_ih и «_jft, формально определенные согласно (27,3—4), будут иметь на «поверхности разрыва» б-образную особенность:

w№ = n,W9, uiV = -L(n_tb_k + n_hb_t)6{Q_t (27,8)

¹) Если бы линия дислокации оканчивалась в какой-либо точке внутритела, то поверхность 5^ Могла бы быть выбрана охватывающей эту точку и тем самым нигде не пересекающей Линию D. Тогда интеграл (27,5) обратился бы в нуль — в противоречии с поставленным условием.

где £ — координата, отсчитываемая от поверхности S_D вдоль нор­мали n (dt, = n dl, где di — элемент длины контура L).

Поскольку никакой физической особенности в среде вокруг дислокации в действительности нет, то тензор напряжений o_lhi как уже было указано, должен быть однозначной везде непрерыв­ной функцией. Между тем с тензором деформации (27,8) формально связан тензор напряжений

Oik = mhlmUlm t

тоже имеющий особенность на поверхности S_D. Для того чтобы исключить его, надо ввести фиктивные объемные силы, распре­деленные вдоль поверхности S_D с определенной плотностью f^(s). Уравнения равновесия при наличии объемных сил имеют вид

дощ | _f(.s) _ _п

Отсюда ясно, что надо положить

й»__4*-_(27,9,

Таким образом, задача об отыскании неоднозначной функции и (г) эквивалентна задаче об отыскании однозначной, но разрыв­ной функции при наличии объемных сил, определяемых форму­лами (27,8—9). Теперь можно воспользоваться формулой

Подставив сюда (27,8), производим интегрирование по частям; интеграл по бесконечно удаленной поверхности исчезает, а в ос­тавшемся интеграле по объему б-функция устраняется тривиаль­ным образом. Заметив также, что dGijIdx'k — —dGijIdxk, получим окончательно

и.(г) = -Wm j ni-^G_u(r-r')dr. (27,10) ^sd

Тем самым поставленная задача решена *).

Наиболее простой вид деформация (27,10) имеет вдали от зам­кнутой дислокационной петли. Если представлять себе петлю расположенной вблизи начала координат, то на больших (по сравнению с ее линейными размерами) расстояниях в производной dG_tj/dx_h можно положить г — г' «г и вынести ее за знак ин­теграла. Тогда получим

¹) Тензор Ом для анизотропной среды найден в указанной на с, 43 статье. Этот тензор, вообще говоря, очень сложен. В случае прямолинейной дислокации, когда мы имеем дело с.плоской задачей теории упругости, может оказаться проще непосредственно решать уравнения равновесия.

"iM^-Wlm"²!^, (27,11)

где

= S A, Si = f «i = -|- e_№, <jj x_fe dxi. (27,12)

Компоненты аксиального вектора S равны площадям, ограничен­ным проекциями петли D на плоскости, перпендикулярные соот­ветствующим координатным осям; тензор d_ik естественно назвать тензором дислокационного момента. Компоненты тензора G_u являются однородными функциями первого порядка от координат х, у, г (см. с. 44). Поэтому из (27Д1) видно, что щ со 1/г^[6]. Соот­ветствующее же поле напряжений a_ih со Mr ^[7] .

Легко выяснить также характер зависимости от расстояния упругих напряжений вокруг прямолинейной дислокации. В ци­линдрических координатах г, г, ср (с осью г вдоль линии дислока­ции) деформация будет зависеть только от г и ср. Интеграл (27,3) не должен меняться, в частности, при произвольном подобном изме­нении размеров любого контура в плоскости х, у. Очевидно, что это возможно, лишь если все ш_а со Mr. Той же степени Mr будет пропорционален и тензор и_ш, а с ним и напряжения! с% со Mr ¹).

^х) Обратим внимание на определенную аналогию между полем упругой деформации вокруг линии дислокации и магнитным полем линейных проводни­ков; роль силы тока играет при этом вектор Бюргерса. Однако, не говоря уже о совершенно различной природе тех и других физических явлений, степень аналогичности уменьшается также и различием в тензорном характере соответ­ствующих величин.

Хотя до сих пор мы говорили только о дислокациях, но полу­ченные формулы применимы также и к деформациям, вызываемым другого рода дефектами кристаллической структуры. Дислокации — линейные дефекты структуры. Наряду с ними существуют дефекты, в которых нарушение правильной структуры распро­страняется по области вблизи некоторой поверхности ^[8]). С макро­скопической точки зрения такой дефект может быть описан как поверхность разрыва, на которой вектор смещения и испытывает скачок (напряжения же с% остаются непрерывными в силу усло­вий равновесия). Если на всей поверхности величина b скачка одинакова, то в отношении создаваемых им деформаций такой разрыв ничем не отличается от дислокации (расположенной вдоль его края). Разница состоит лишь в том, что вектор b не равен пе­риоду решетки. Положение же поверхности S_c', о которой была речь выше, перестает быть произвольным и должно совпадать с фак­тическим расположением физического разрыва. С такой поверх­ностью разрыва связана определенная дополнительная энергия, что может быть описано путем введения соответствующего коэф­фициента поверхностного натяжения.

Задачи

1. Написать дифференциальные уравнения равновесия для дислокацион-
ной деформации в изотропной среде, выраженные через вектор смещения

Решение. В терминах тензора напряжений или тензора деформации уравнения равновесия имеют обычный вид: да^/дх^ = 0 или, подставив С(ь.из (5,11):

dx_h ^ 1— 2о дх_г ^(l>

Но при переходе к вектору и надо учесть дифференциальное условие (27,6). Умножив (27,6) на е^п и упростив по I, k, получим ^г)

Переписав (1) в виде

1dw_lh 1 баяма дш_п

2 дх_к ~^[9]~ 2 dx_ft 1— 2а их, ~ и подставив сюда (2), находим

Переходя теперь к и, согласно (27,2), находим искомое уравнение для неодно­значной функции и (г) в виде

^Ди+ t J.2g Vdivu=[xb]6(l). (3)

Решение этого уравнения должно удовлетворять условию (27.1).

2. Определить деформацию вокруг прямолинейной винтовой дислокация
в изотропной среде.

Решение. Выбираем цилиндрические координаты z, г, ф с осью г вдоль линии дислокации; вектор Бюргерса: Ь_х — Ь_ч — <3, b_z — Ь. Из соображений симметрии очевидно, что смещение а параллельно оси 2 и не зависит от коор­динаты z. Уравнение равновесия (3) задачи 1 сводится к Ьм_г = 0. Решение, удовлетворяющее условию (27,1) ^[10]):

У тензоров «jft и отличны от нуля лишь компоненты

_ b цЬ

^К2Ч,~"4ЙГ' ^СТг,Р-"2НГ'

так что деформация представляет собой чистый сдвиг.

²) Напомним формулу *ilm^eik.n = &lk&mn — din4ot&<

Свободная энергия дислокации (на единицу ее длины) дается интеграломлогарифмически расходящимся на обоих пределах. В качестве нижнего предела следует взять величину порядка атомных расстояний (—Ь), на которых дефор­мация велика и макроскопическая теория неприменима. Верхний же предел определяется размерами порядка длины L дислокации. Тогда

4я о

Энергию же деформации в «сердцевине» дислокации вблизи ее оси (в области с площадью сечения —б²) можно оценить как —рб². При In (Lib) ~S> 1 эта энер­гия мала по сравнению с энергией поля упругой деформации ¹).

3. Определить внутренние напряжения в анизотропной среде вокруг вин­товой дислокации, перпендикулярной плоскости симметрии кристалла.

Решение. Выбираем систему координат х, у, г так, чтобы ось г совпа­дала с линией дислокации (и снова пишем Ь_г = Ь). Вектор и опять имеет лишь компоненту и_г= и (х, у). Так как плоскость х, у является плоскостью симме­трии, то равны нулю все компоненты тензора ^шт. У которых индекс г встре­чается нечетное число раз. Поэтому отличны от нуля только две компоненты тензора а^:

°"xz — ^xzxz —q^ г f-xzyz ~~fiy~i»

r, — i to.. ди

°yz — Kyzxz -fa- "Г ^yzyz —q^- •

Введем двухмерные вектор о и тензор Я_ар: а_а = cr_az, Я,_ар = Я_а2р_г (а = 1, 2). Тогда

а уравнение равновесия записывается в виде div о = 0. Искомое решение этого

уравнения должно удовлетворять условию (27,1); (j) Vu d\ = b.

В таком виде задача совпадает с задачей о нахождении индукции и напря­женности магнитного поля (роль которого играют а и V«) в анизотропной среде (с магнитной проницаемостью Я_ар) вокруг прямолинейного тока, сила которого / = cblin. Воспользовавшись известным из электродинамики решением этой задачи, найдем

0"а_г = '

2" ]f\X\X-}_&,x_a,_Xfi,

где — определитель тензора А,_ар (см. VIII, задача 5 к §30).

4. Определить деформацию вокруг прямолинейной краевой дислокации в изотропной среде.

Решение. Пусть ось г направлена вдоль линии дислокации, а вектор Бюргерса: b_x = b, b_y = b_z = 0. Из симметрии задачи очевидно, что вектор деформации лежит в плоскости х, у и не зависит от г, так что мы имеем дело с пло­ской задачей. Ниже в этой задаче все векторы и векторные операции — двух­мерные в плоскости х, у.

Будем искать решение уравнения

(см. задачу 1; j — единичный вектор вдоль оси у) в виде u = и^<0> -j- w, где и<°> — вектор с составляющими

* 2л ^ф[11] У 2л

(мнимая и вещественная~части от (Ь/2л) In (х + iy))\ г, ф — полярные коорди­наты в плоскости х, у. Этот вектор удовлетворяет условию (27,1). Поэтому задача сводится к нахождению однозначной функции w. Поскольку, как легко убе­диться,

divu⁽⁰'=0, Au⁽⁰⁾ = fcj6(r), то w удовлетворяет уравнению

Aw + -j—V div w = — 2b']0 (r).

Это — уравнение равновесия под действием сил, сосредоточенных вдоль оси г с объемной плотностью

^Щ Mr)

(1 + 0)

(ср. уравнение (1) в задаче к § 8). С помощью найденного в той же задаче тен­зора Грина для неограниченной среды нахождение w сводится к вычислению интеграла

8я(1— о)

о

В результате получим

Ь (. У, 1 ху \

»[12] ⁼ lH^arctg-r⁺ 2(1-с) х[13] + у[14] Г

•{атг^от¹¹¹у [15] +?+ ₂₍₁L₀)-wtt)-

"V 2л

Вычисленный отсюда тензор напряжений имеет декартовы компоненты

У(3х [16] + У [17]) „ _hR У(х [18] -У [19]) _п __ьр х(х [20] -у [21])

или полярные

, „ sin ф cos ф

°Vr = °фф = — оВ —-—, о_щ = bD —у^-,

где обозначено В = р,/2я (1 — а).

5. Бесконечное число одинаковых параллельных прямолинейных краевых дислокаций в изотропной среде расположены в одной плоскости, перпендику­лярной их векторам Бюргерса, на одинаковых расстояниях h друг от друга. Найти напряжения сдвига, создаваемые такой «дислокационной стенкой» на рас­стояниях, больших по сравнению с Л.

Решение. Пусть дислокации параллельны оси z и расположены в пло­скости у, г. Согласно результатам задачи 4 суммарное напряжение, создаваемое всеми дислокациями в точке х, у, дается суммой

,.„ V[22] х^а —(» —пй)^а

Перепишем эту сумму в виде

«\ Кг, «Ч ■ - ⁹¹ Р)

,„ а Г., „.. а/ (а, в) 1
а_жг/ = -6в—^(а, Р) + а----------------- ^' ^н; j,

где

СО

/(а, р)= _{a2 + (R}__n)a. «=T"' ^Р==Т"

Согласно формуле суммирования Пуассона

оо оо оо

П——оо ft——оо —оо

найдем

оо ОО 00

*-00 ft = l

я, 2я

^_2]в-^2я*^асо5 2я*р.

fc=i

При а = х/А > 1 в сумме по k можно оставить лишь первый член, и в резуль­тате получим

Таким образом, напряжения убывают при удалении от стенки по экспоненци­альному закону.

6. Определить деформацию изотропной среды вокруг дислокационной петли (J. М. Burgers, 1939).

Решение. Исходим из формулы (27,10). Тензор ^шт Д^ля изотропной среды согласно (5.9) и (5.11) может быть представлен в виде

Тензор Грина для изотропной среды найден в задаче к § 8 и может быть пред­ставлен как

°» ^(R) = leW-o)* ^{(3 - ^{40) 6ik} + ^Vm)-

Здесь R = (г — г') — радиус-вектор от элемента dt' (в точке г') к точке наблю­дения деформации (точка г); v = R/R — единичный вектор в этом направлении. Подставив эти выражения в (27,10) и произведя под интегралом требуемые диф­ференцирования, получим после вычисления

^в(r)=8я(7-^До)J ~h~^{{b(vdV)+фг)di}'~^v(bdV)}+

8я (1 — a) ^SD

\~~v(bv)(ydi'). (1)

Стоящие здесь интегралы можно выразить через интегралы по контуру D — по петле дислокации. Для этого замечаем следующие формулы:

(j)-i-[bdl']= j-^-{(bv)df' —v(bdf')},

D ^SD

<^[bx]d\'=-J_L{bdf' + (bv)(vdf')}.

D ^SD

Интегралы в правых частях равенств получаются из контурных интегралов в левой стороне применением теоремы Стокса, согласно которой преобразование осуществляется заменой dV -*■ [df'-V'J (где V' = д/дт'); поскольку подын­тегральное выражение зависит только от разности г — г', это преобразование эквивалентно замене dl' ->— [dt'-y] (где V = d/dr). Введем также телесный угол Q, под которым петля D видна из точки наблюдения, согласно определе­нию

Тогда поле смещений представится в виде

■ «" ^Ь ЧЗГ + "4Т§-W^[ЪЛ'^] + ШЙГ=^)^VФ^(lbv]dV)-

D D

Неоднозначность этой функции заключена в первом члене — угол Q меняется на 4я при обходе вокруг линии D.

Вдали от петли выражение (1) сводится к

"» «" te/l-a)!!' ^{§ ^ + ^{Ь (SV)} - ^{V (Sb)}} + to(lio)j?«^{(sv) v}-Эту формулу можно было бы получить и непосредственно из (27,11—12).

§ 28. Действие поля напряжений на дислокацию

Рассмотрим дислокационную петлю D в поле упругих напря­жений о$, созданных действующими на тело внешними нагруз­ками, и вычислим силу, действующую на нее в этом поле. Со­гласно общим правилам для этого надо найти работу bR_D, произ­водимую над дислокацией при бесконечно малом ее смещении.

Вернемся к введенному в § 27 представлению о дислокацион­ной петле D как линии, на которую опирается поверхность (S_D) разрыва вектора смещения; величина разрыва дается формулой (27,7). Смещение линии дислокации D приводит к изменению по­верхности S_D. Пусть бх — вектор смещения точек линии D. Сме­щаясь на бх, элемент dl длины линии описывает площадь бт = = [6x.dll == [бх-т] dl, чем и определяется приращение площади поверхности S_D. Поскольку речь идет теперь о реальном, физиче­ском смещении дислокации, необходимо учесть, что указанная операция сопровождается изменением физического объема среды. Поскольку смещения и точек среды по обе стороны поверхностиразличаются на величину Ь, то это изменение дается произведе­нием

6У = bdf = [bx-x]hdf = bx[xb]df. (28,1)

В связи с этим возможны две существенно различные физиче­ские ситуации. В одной из них 6V = 0, смещение линии дислока­ции не связано с изменением объема. Так будет, если смещение происходит в плоскости, определяемой векторами т и Ь. Эту пло­скость называют плоскостью скольжения данного элемента дисло­кации. Огибающую семейства плоскостей скольжения всех эле­ментов длины петли D называют поверхностью скольжения дисло­кации; она представляет собой цилиндрическую поверхность с об­разующими, параллельными Еектору Бюргерса b *). Физическая особенность плоскости скольжения состоит в том, что только в ней возможно сравнительно легкое механическое перемещение дисло­кации (о котором в этом случае обычно говорят как о ее скольже­нии) ^[23] ).

С изменением площади поверхности S_D при смещении дисло­кации связано изменение сингулярной деформации (27,8), сосре­доточенное на линии D. Его можно представить в виде

8«Й^Л) = Vi {h [бх • x]_k + b_k [бх • т],} б (|), (28,2)

где б (1) — введенная в § 27 двухмерная 6-функция. Подчеркнем, что эта деформация однозначно определяется формой линии D и смещением бх, в отличие от выражения (27,8), зависящего от произвольного выбора поверхности S_D.

Выражение (28,2) описывает локальную неупругую остаточную деформацию (ее называют пластической), не сопровождающуюся упругими напряжениями. Связанная с ней работа, совершаемая в конечном счете внешними источниками, дается интегралом

\ о% 6u_tkdV

*) Возможные системы плоскостей скольжения в анизотропной среде факти­чески определяются структурой ее кристаллической решетки.

(ср. (3,2)), где под bu_ik надо понимать полное геометрическое изменение деформации. Оно складывается из упругой и пластиче­ской частей; нас интересует здесь только работа, связанная с пла­стической частью ^[24]). После подстановки Ьи%^л) из (28,2), ввиду на­личия в нем б-функции, остается интегрирование только вдоль длины дислокационной петли D:

8R_D = <j) o$e_tlm 8х_гх_т dl. (28,3)

d

Коэффициент при 8xi в подынтегральном выражении есть сила f_u действующая на единицу длины линии дислокации. Таким обра­зом,

fi = е_шх_к<з\%Ь_т (28,4)

(М. О. Peach, J. S. Kohler, 1950). Отметим, что сила f перпендику­лярна вектору т, т. е. линии дислокации.

Формула (28,3) допускает наглядную интерпретацию. Согласно сказанному выше смещение элемента линии дислокации сводится к разрезанию некоторой площадки df и сдвигу верхнего берега разреза относительно нижнего на длину Ь. Приложенная к df сила внутренних напряжений есть в$dfk, а производимая этой силой

при сдвиге работа есть.bio^dfk-

Поскольку в написанном виде формула (28,4) относится только к перемещению в плоскости скольжения, имеет смысл сразу же написать проекцию силы f на эту плоскость. Пусть и — единичный вектор нормали к линии дислокации в плоскости скольжения. Тогда

/_± = f_x = е_шщхф_то\^е1

или

/± = Vio\^eXi, (28,5)

где v= [хт] — вектор нормали к плоскости скольжения. По­скольку векторы b и v взаимно перпендикулярны, то (выбрав вдоль них две из координатных осей) мы видим, что сила /_х опре­деляется всего одной из компонент тензора а\т.

Если же смещение дислокации происходит не в плоскости скольжения, то 8V ф 0. Это значит, что смещение берегов разреза привело бы к появлению избытка вещества (когда один берег «пе­рехлестывает» другой) или к его недостаче (образование щели между раздвигающимися берегами). Этого нельзя допустить, если полагать, что в процессе движения дислокации сплошность среды не нарушается и ее плотность остается неизменной (с точностью до упругих деформаций). Устранение избыточного вещества или заполнение его нехватки происходит в реальном кристалле диффу­зионным способом (ось дислокации становится источником или стоком диффузионных потоков вещества) *). О перемещении

¹) Так, изображенная на рис. 22 дислокация может перемещаться в пло­скости у, г лишь за счет диффузионного ухода вещества из «лишней» полупло­скости.

дислокации, сопровождающемся диффузионным «залечиванием» дефектов сплошной среды, говорят как о ее переползании ^х).

Из сказанного ясно, что, допустив переползание дислокации в качестве возможного ее виртуального перемещения, необходимо считать, что оно, как и скольжение, происходит без локального изменения объема среды. Это значит, что из деформации (28,2) надо вычесть ответственную за изменение объема часть ^г/зоЪ«1"^л\ т.е. описывать пластическую деформацию тензором

виЙ^л)= {V_J6|[«x.t]_)k-fVAiex-t]_l-VA_fcbl6x.t]}6(S). (28,6)

Соответственно вместо (28,4) получим следующую формулу для действующей на дислокацию силы [25]):

U = e_tkt%_kb_m (о|Й —ъ'ЬывЩ (28,7)

(J. Weertman, 1965). Полная сила, действующая на всю дислока­ционную петлю, равна

Fi = е_шЬт § —\- ЬывЯ) dx_k. (28,8)

Она отлична от нуля только в неоднородном поле напряжении (при а^{'т = const интеграл сводится к ф dxk = о). Если на про­тяжении петли поле напряжений меняется мало, то

F₍=е_шЬт (ой-4~⁰"n°™)§^xp^dxk

d

(петлю представляем себе расположенной вблизи начала коорди­нат). Входящие сюда интегралы образуют антисимметричный тен­зор

<§>x_pdx_h= — ф x_kdx_r

Имея это в виду, легко выразить силу через введенный в (27,12) дислокационный момент d_M ³):

¹) Поскольку такой процесс лимитируется диффузией, он может фактически играть роль лишь при достаточно высоких температура».

Эо^(е> 1 / да^<е) да^(е) \

В однородном поле напряжений эта сила, как уже было указано, обращается в нуль. При этом, однако, на петлю действует момент сил

K_t = ец_тфх_г}_т<Н,

который тоже можно выразить через дислокационный момент'
Ki = e_tkld_km (а{Й - */»в/та#)- (28,10)

задачи

1. Найти силу взаимодействия двух параллельных винтовых дислокаций
в изотропной среде.

Решение. Сила, действующая на единицу длины одной дислокации в ноле напряжений, создаваемых второй дислокацией, определяется по фор­муле (28,4) с помощью результатов задачи 2 § 27. Она имеет радиальное напра­вление и равна

f = р.^&а/гяг.

Дислокации одного знака (Ь^ > 0) отталкиваются, а дислокации разных зна­ков (с>1&2<1 0) притягиваются.

2. Прямолинейная винтовая дислокация расположена параллельно пло-
ской свободной поверхности изотропной среды. Найти действующую на дисло-
кацию силу.

Решение. Пусть плоскость у, г совпадает с поверхностью тела, а дисло­кация параллельна оси г и имеет координаты х — х₀, у = 0.

Поле напряжений, оставляющее поверхность среды свободной, описывается суммой полей дислокации и ее зеркального отражения в плоскости у, г, как если бы они были расположены в неограниченной среде:

_ _ ±Ь_ Г х — х„ ________________ х + х₀ ]

°»^z- 2л I (х-х₀)* + у* (х+х₀)* + у* Г

Такое поле действует на рассматриваемую дислокацию с силой, равной при­тяжению со стороны ее зеркального изображения, т. е. дислокация притягива­ется к поверхности среды с силой

/ = рЬЩпхо.

3. Найти силу взаимодействия двух параллельных краевых дислокаций
в. изотропной среде, расположенных в параллельных плоскостях скольжения.

Решение. Пусть плоскости скольжения параллельны плоскостям х, 2, а ось г параллельна линиям дислокаций; ка ив задаче 4 § 27, полагаем т_г = = —I, Ь_х = Ь. Тогда сила, действующая на единицу длины дислокации в поле упругих напряжений а^, имеет компоненты

Дата добавления: 2014-11-07