Дотична площина та нормаль до поверхні

Озн.1 Дотичною площиною до поверхні в точці М називається площина, яка має у собі усі дотичні до кривих, проведених на поверхні через точку М

Якщо поверхня задана рівнянням, то рівняння дотичної площини в точці М(х_о;у_о) до поверхні має вигляд:

(1)

Якщо поверхня задана рівнянням , то рівняння (1) має вигляд:

Озн.2 Нормаль до поверхні - це пряма, яка проходить через точку дотику і перпендикулярна дотичній площині.

Якщо поверхня задана рівнянням , то канонічне рівняння нормалі має вигляд:

Якщо поверхня задана рівнянням , то .

Приклад: Знайти рівняння дотичної до нормалі в точці М(1;1;1) .

Розв’язання:

Нормаль:

Невизначений інтеграл

§1 Первісна та невизначений інтеграл

Означення 1. Функція F(x) називається первісною для даної функції f(x) на проміжку (а; b), якщо для будь-яких () .

Теорема 1. Якщо F₁(x) і F₂(x) – дві первісні для функції f(x) на проміжку

(а; b), то різниця між ними дорівнює сталому числу.

Доведення. Нехай f(x) існує на проміжку (а; b), та F₁(x) і F₂(x) її первісні. Тобто, за означенням 1 маємо та .

За наслідком з теореми Ла-Гранжа маємо F₁(x) - F₂(x) =с, де с = const.

Тобто, .

(М₁; М₂)=с, с = const.

Наслідок. Якщо F(x) первісна для деякої функції f(x) то будь-яка інша первісна має вигляд F(x)+С.

Означення 2. Сукупність всіх первісних для функції f(x) називається невизначеним інтегралом від функції f(x) і позначається символом , де

f(x) – підінтегральна функція,

f(x)dx – підінтегральний вираз,

∫ - знак інтеграла.

Операція знаходження первісної для даної функції f(x) називається інтегруванням. Крива F(x) називається інтегральною кривою.

§2 Властивості невизначеного інтеграла

1.

2.

3.

4.

5., де

6.

Знаки d i ∫ слідуючи один за одним в будь-якій послідовності взаємознищуються.

Доведемо 5 властивість.

Нехай F(x) – первісна f(x). За означенням 2 маємо

Тоді аF(x) є первісною для функції аf(x).

Дійсно, за означенням 1 .

§3 Таблиця невизначених інтегралів

Нехай х – незалежна змінна, функція f(x) неперервна на даному інтервалі і F(x) – її первісна.

(1)

Нехай , де - неперервна і диференційована, а - неперервна і розглянемо

(2)

В даному випадку складена функція є первісною для підінтегральної функції (2). Тоді знайдемо

Це означає

, (3)

де .

Тобто, мають місце (1) і (3).

Зауваження

Деякі перетворення диференціалів

1), де

2),

3)

4)

5)

6)

§4 Методи інтегрування

1. Підведення під знак диференціалу

Нехай потрібно знайти інтеграл від функції . За означенням диференціалу функції вираз .

Приклад.

Обчислити інтеграл ,

2. Інтегрування за частинами

- інтегрування за частинами

Приклад

1.

2.

3. Інтеграл від функції, що містить повний квадрат

Розглянемо (2)

він зводиться до інтегралу (1) шляхом виділення в чисельнику похідної від знаменника

Приклад:

4. Інтегрування раціональних дробів.

Розглянемо правильний дріб

Нехай для визначенності (2), де квадратичний тричлен не має дійсних коренів.

Теорема. Правильний раціональний дріб , де - (2) можна єдиним способом розкласти на суму найпростіших дробів.

(3)

Метод невизначених коефіцієнтів.

Коефіцієнти Аі, Ві, Мі, Nі – в рівності (3) можна визначити слідуючим чином. Рівність (3) – це тотожність, тому звівши дроби (3) до спільного знаменника, отримаємо тотожні многочлени в чисельниках зліва та справа. Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях – x, або даючи х значення отримаємо систему рівнянь для визначення отримаємо систему рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів.

Це є метод невизначених коефіцієнтів.

Приклад:

Зауваження: Всі неправильні дроби перетворюються у правильні діленням многочлена на многочлен, тобто виділяючи цілу частину.

Приклад:

§ 5 Інтегрування деяких ірраціональних функцій

1) dx, a

2) dx

3) де не має рівних коренів. Якщо D< 0, а >0 - перша підстановка Ейлера.

D>0, друга підстановка Ейлера

§ 6 Інтегрування тригонометричних функцій

1. n – цілі, >0

а) n – парне:

б) n – непарне sin x або cos x підвести під знак диференціалу і використовують тригонометричні формули

Приклади: ,

2. ,

а) m,n – хоча б одне непарне, виділити один множник і замінюючи змінну на t, отримаємо табличні інтеграли.

б) m, n – парне > 0 – знижувати степінь за тригонометричними формулами

3.

Приклади:

4.

5. універсальна підстановка ;

Приклад:

§ 7 Інтегрування функцій, раціонально залежних від тригонометричних

1) або

Приклад:

2)

3)

Зауваження 1.

Інтегрування за частинами

Зауваження 2. Існують інтеграли, які не мають рішення ні за одним з вказаних методів. Вони знаходяться лише за приблизними правилами.

Наприклад: і т. д.

Дата добавления: 2014-10-15