Геометричні застосування визначеного інтегралу

Наближені обчислювання визначених інтегралів

1.Формула прямокутників

, n-кількість інтервалів Δx_i

y

Δx_i x

a b

2.Формула трапецій

, n-кількість інтервалів Δx_i

y

Δx_i

a b x

3.Формула парабол (Симпсона)

y

x

a b x

Приклад:

Обчислити беспосередньо та за формулами прямокутників,

трапецій та парабол. Оцінити похибку

розіб’ємо інтервал на вісім частин, з кроком h=1

I
X
y	1,0000	2,6458	3,6056	4,3589	5,0000	5,5678	6,0828	6,5574	7,0000

Формула прямокутників

абсолютна похибка Δ=│38-34,8183│=3,1817, відносна

Формула трапецій

похибка:

Δ=│38-37,8183│=0,1817

Формула Симпсона

(8+4·19,1299+

+2·14,6884)37,9655

Δ= 38-37,9655 =0,0345

Отже меншу похибку дав метод Симпсона

1.Площа в прямокутних кординат ax

На основі геометричного змісту визначеного інтегралу площа криволінійної

трапеції a ABb, обмеженою зверху неперервною кривою y=f(x), f(x)0

, вертикалю х= a та х=b і віссю ОХ

S = (1)

Якщо ,

Якщо f(x) міняє знак скінчене число раз на проміжку [ a,b ] то інтеграл по [a;b] розбиваємо на суми інтегралів по частинними відрізкам. Щоб отримати площу потрібно знайти суму абсолютних величин інтегралів по всім відрізкам.

Приклад

Обчислити площу обмежену синусоїдою y=sin x віссю OX х Є [ 0; 2p ]

Зауваження

В більш складних випадках фігуру представляють у вигляді суми або різниці криволінійних трапецій.

	Приклад

Визначити площу S обмежену параболою

Y=x²+1 та x+y=3

1.Визначимо межі інтегрування

			X=-2; x=1

Якщо криволінійна трапеція обмежена кривою, яка задана параметрично х=х(t); y=y(t) tÎ[t₁ ; t₂]

Приклад

Обчислити площу обмежену еліпсом x = a cos t y = b sin t

x₁=-a то cost₁=-1 t₁=p x₂=a то cost₂=1 t₂=p

1.Визначимо межі інтегрування

Якщо криволінійна трапеція обмежена кривою, заданою в полярних координатах ρ=ρ(φ),

φÎ [ α;β ]. Визначимо площу. Нехай в полярній системі координат маємо криву ρ=ρ(φ), де ρ(φ) неперервна функція на [ α;β ]. Визначимо площу сектора, обмеженого кривою ρ=ρ(φ) та радіус-векторами φ ₁=α, φ ­₂=β. Розіб’ємо дану площу радіус-векторами на n частин, позначимо через Δ φ ₁,Δ φ ₂,..., Δ φ _n кути між проведеними радіус-векторами

_i – довжина радіус-вектора,що відповідає будь-якому куту φ _і, що знаходяться між φ _і-1 та φ _і.Площа кругового сектора з радіусом ρ_і та центральним кутом Δ φ _і

, тоді

при n®¥ маємо

	Приклад

Обчислити площу обмежену лінією

;

j	-p/4		p/4
r

2. Довжина дуги плоскої кривої

Під довжиною дуги АВ розуміють границю до якої прямує довжина ламаної, вписаної в цю дугу, коли число частин ламаної необмежено зростає, а довжина найбільшої частини прямує до нуля.

Нехай y=f(x) рівняння кривої на [a;b]

Розіб’ємо криву точками М_і на n частин, маємо М₀М₁... М_n -ламану.

Довжина М_і-1 М_і буде дорівнювати:

За теоремою Лагранжа

тобто

, отже

при n®¥

або, якщо

	Приклад

Обчислити довжину кола x²+y² = r², y= r²-x²

Якщо дуга кривої задана параметрично x=x(t), y=y(t), tÎ[t₁;t₂]

Якщо крива задана в просторі x=x(t),y=y(t),z=z(t)

		(6)
	Приклад

Обчислити довжину дуги x = a cos³ t, y = a sin³t

		Зауваження

Межі інтегрування знайдемо надаючи параметру f значення:

t		p/3	p/2
x	a	0.35a
z		0.35a	A

Зауваження

Якщо крива задана в полярних координатах ρ=ρ(φ). Запишемо формули переходу y= ρ sin φ,x= ρcos φ

Приклад

Тоді

Обчислити довжину кардіоїди

j		p/3	p/2	p
r	2a	1.5a	a

3. Обчислення об’єму тіла за площею паралельних перерізів

Нехай задано тіло Т, та відомо площу будь-якого перерізу цього тіла площиною,перпендикулярною до осі ОХ. Ця площа залежить від положення січної площини і являється функцією від Х: S=S(x). необхідно визначити об’єм тіла Т, якщо S(x) — неперервна

функція. Спроектуємо тіло на вісь ОХ,

отримаємо [a;b], який дає лінійний розмір тіла в напрямку ОХ, розділимо [a;b] точками x_i на n частин і через них проведемо площини, перпендикулярні ОХ, тіло розіб’ється на суму циліндрів, об’єми яких

Знайти об’єм піраміди з площею основи та висотою Н. Нехай S(x) — площа перерізу. Площі їх перерізів відносяться як квадрати їх відстаней до вершини.

;

4.Об’єм тіла обертання.

S(x)

b

a

A

x

DV

y

B

Обчислити об’єм тіла V_x утвореного шляхом обертання навколо осі ОХ криволінійної трапеції аАВb, обмеженої y = f(x), a≤x≤b,віссю ОХ

та прямими x=a, x=b.

S(x)= py² — коло в розрізі

аналогічно

Отже

	Приклад

Визначити об‘єм тіла.

y=f(x)

y

5.Поверхня тіла обертання.

Y=f(x)­обертається навколо осі ОХ на [a;b]

x

Якщо крива задана параметрачно

Дата добавления: 2014-10-15