КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Теореми про визначений інтеграл1.Теорема про середнє y Якщо функція f(x) неперервна на [ a, b] тоді на c [ a, b] існує така точка С, що f(x)
0 a c b Доведення: можливі три випадки для a, b 1) 2) a < b Візьмемо на проміжку [ a; b] min=m та max=M значення функції f(x), тоді з властивості (7) розділимо його на (b - a) так як f(x) неперервна на [ a; b]→приймає будь-яке значення на [m; M] → існує така точка С [ a; b],що 3) a > b, то
Зауваження: теорема про середнє має геометричний зміст:
y M
f (c)
m
0 a c b x
величина визначеного інтеграла при f (x) ≥ 0 дорівнює площі прямокутника з висотою f(c) і основою b - a
2.Теорема про визначений інтеграл зі змінною верхнею межею. Похідна інтеграла від неперервної функції зі змінною верхнею межею існує і дорівнює значенню підінтегральної функції в точці, яка дорівнює верхній границі т. б. ΄ Доведення: З заданої функції та властивості (6) для будь якого x та x0 [ a;b ] тоді за теоремою про середнє: де C , коли i C , якщо . Отже знайдеться таке C ,
що f (c)
- що і потрібно було довести. 3. Теорема (формула Ньютона – Лейбніца) Якщо f (x) неперервна на [ a;b], а функція F(x) є первісна для f (x) на [ a;b], то справедлива формула Доведення: Відповідно теоремі 2: Ф (х) = - є первісна для f (x) на [ a;b]. Так як і F (x) є первісна для f (x) на [ a;b] то Ф (х) – F(x) рівна деякій постійній С на всьому проміжку [ a;b], тобто Ф (х) = F (x) + C, надаючи х значення a, а потім b маємо:
Ф (a) = F (a) + C, але Ф (a) = Ф (b) = F (b) + C
Ф (b) = , то С = - F (a)→ Ф (b) = F (b) – F (a)
Теорему доведено.
§ 3.Методи обчислення визначеного інтеграл 1.Метод заміни змінної інтегрування Теорема Нехай функція f(x) неперервна в точці, де [], a = тоді,якщо має неперервну похідну то
Доведення: За формулою Нютона-Лейбніца де F(x) –первісна для f(x) на . З іншого боку, розглянемо складену функцію , згідно правила диференціювання складеної функції звідси випливає, що є первісною для , яка неперевна на , тоді згідно формули Нютона-Лейбніца: Приклади: 1) = 2) 3) 4) 2.Метод інтегрування за частинами Теорема Нехай функції U(x) і V(x) мають неперервні похідні на [ a;b ] Тоді справедлива ф-лаu(x)v'(x)dx=u(x)v(x) -v(x)u'(x)dx або udv=uv -vdu Доведення: використаємо відому формулу похідної добутку (uv)'=u'v+uv' проінтегруємо (uv)'dx=uv'dx+u'vdx (uv)'dx=uv отже uv =uv'dx+vu'dx тобто uv'dv=uv -vdu Обчислити: Приклади: 1)= = x lnx -=e·lne-1·ln1-x =e - 0 - e +1=1
2) =
Зауваження: всі методи невизначеного інтеграла діють для визначеного інтеграла (метод невизначених коефіцієнтів, метод підстановок tn, тригонометричних і т.д. ).
Дата добавления: 2014-10-15; Просмотров: 406; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |