Воспользовавшись известными записями формулы Эйлера

(2.10)

и , (2.11)

можем представить синусоидальный сигнал выражением

.

Тогда входную и выходную переменные можно представить в виде суммы экспоненциальных функций

На основании принципа суперпозиции прохождение через звено каждой составляющей сигнала можно рассматривать отдельно. Поэтому, обычно, пользуются символической записью гармонической функции

Тогда (2.12)

(2.13)

Отношение выходного сигнала к входному называется частотной передаточной функцией (её иногда называют просто частотной)

Пусть, например, звено описывается уравнением

(2.14)

которое соответствует передаточной функции

С учетом (2.13) запишем

После подстановки этих выражений в уравнение (2.14) получим

Отсюда частотная функция звена

Сравнение частотной функции с обычной показывает, что она может быть получена путём формальной замены операторана.

Частотную функцию можно представить в виде

,

или в показательной форме

.

В этих выражениях и соответственно действительная и мнимая части частотной функции; – модуль частотной функции (обозначают также ), а – её фаза. Легко показать (рис. 2.14), что модуль можно найти из выражения

,

а фазу из выражения

.

На комплексной плоскости (рис. 2.14) частотную передаточную функцию определяет годограф вектора , длина (модуль) которого равна , а аргумент (угол, образованный этим вектором с действительной положительной полуосью) . Кривую, которую описывает конец вектора при изменении частоты от 0 до ∞, называют амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ). Таким образом, АФХ – это совмещённые АЧХ и ФЧХ.

Рис. 2.14. Построение АФХ по частотной функции

Итак, передаточная функция полностью определяет как статические, так и динамические свойства системы (звена). Она показывает, по какому закону тот или иной сигнал, поступивший на вход, преобразуется в выходной сигнал системы или звена.

Дата добавления: 2014-10-15