Пример 2.25

Найти область сходимости степенного ряда: 1); 2) .

Решение.

Найдем радиус сходимости ряда:

ряд сходится при

Пусть х = 1, тогда ряд принимает вид − сходится.

Пусть х = –1, тогда ряд принимает вид − сходится абсолютно, т. к. ряд сходится.

Ответ: [–1; 1].

ряд сходится при

Пусть х = 1, тогда ряд принимает вид − расходится.

Пусть х = –1, тогда ряд принимает вид − сходится по признаку Лейбница (члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине).

Ответ: [–1; 1).

2.95. Найти область сходимостистепенного ряда:

1) ; 2) 3) 4) 5)

6) 7) 8) 9) 10)

11) 12) 13) 14)

Формула Маклорена (разложение функции в ряд по степеням х)

~

Разложения в ряд Маклорена некоторых функций

2.96. Разложить функцию в ряд по степеням x и указать область сходимости полученного ряда:

1) 2) 3) 4);

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12)

2.97. Найти решение задачи Коши в виде степенного ряда (первые три члена ряда):

1) 2)

3) 4)

Указание. Найти первые три члена ряда по формуле Маклорена.

Формула Тейлора (разложение функции в ряд

по степеням (х – а)

~

2.98. Разложить в ряд функцию:

1) по степеням (х – 1);

2) по степеням (х + 1);

3) по степеням (x + 2);

4) по степеням (x – 1).

2.99. Вычислить приближенно с заданной точностью:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

9) 10)

Контрольные задания

1. Исследовать ряд на сходимость:

1) 4)

2) 5)

3) 6)

2. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:

1) 2) 3)

3. Найти область сходимости ряда:

1) 2) 3)

4. Разложить в ряд функцию:

по степеням (х –1);

по степеням (х +1);

по степеням (x +2).

5. Вычислить приближенно с заданной точностью:

1. а) б) 2. а) б)

3. а) б)

ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Дата добавления: 2014-10-15