Способи визначення множини

Аксіома булеана.Для будь-якої множини A існує іі булеан В(A), тобто сукупність всіх підмножин множини A.

Аксіома об’єднання.Для довільної множини A існує множина B, яка складається точно з усіх елементів, що входять до елементів множини A.

С и с т е м а а к с і о м Ц е р м е л о – Ф р е н к е л я

1. Аксіома вибору. В кожній непорожній множині можна виділити один певний елемент.

2. Аксіома об’ємності. Дві множини рівні тоді і тільки тоді, коли вони складаються з одних і тих же елементів.

3. Аксіома нескінченності. Існує хоча б одна нескінченна множина, а саме множина натуральних чисел.

4. Аксіома пари. Якщо a i b різні предмети, то існує множина, яка точно складається з цих двох предметів.

5. Аксіома згортки. Будь-яка властивість P (x) визначає певну множину A за умовою: елементами множини A є ті і тільки ті предмети з A, які мають властивість P.

8. Аксіома підстановки. Для довільної множини A і однозначної функції f, визначеної на A, існує множина, яка складається точно з елементів f(x), де xÎ A.

Проте система аксіом Цермело – Френкеля, як уже зазначалося, в свою чергу є невизначеною, тобто в цій аксіоматиці існують твердження, які не можна ні довести, ні спростувати, наприклад, знаменита континуум- гіпотеза.

Якщо множина складається із скінченної кількості елементів, то вона називається скінченною. Запис означає, що елемент належить множині (є елементом множини ). Однозначно визначену множину, яка складається з невеликої кількості елементів , як уже говорилося, будемо позначати символом .

Основні позначення та скорочення:

a Î A: елемент a належить множині A;

a Ï A: елемент a не належить множині A;

:з твердження випливає (слідує) твердження (пряма теорема);

:з твердження випливає (слідує) твердження (обернена теорема);

: твердження еквівалентно (рівносильно) твердженню (необхідна і достатня умови) або "тоді і тільки тоді";

B Ë A:множина B не є підмножиною множини A;

: порожня множина, тобто множина, яка не містить жодного елемента;

A = {} – скінченна (n – елементна) множина, яка складена з елементів a ₁ ,…, a_n (n1); кількість елементів в множині A позначається символом .

X = { x P (x)} – множина елементів, які задовольняють властивість P (x);

" x P (x) – “ для всіх елементів x, які задовольняють властивість P (x)”;

$ x P (x) – “ існує елемент x, який задовольняє властивість P (x) ”;

$! x P (x) – “ існує єдиний елемент x, який задовольняє властивість P (x) ”;

N = {1, 2, …, n, …} – множина натуральних чисел;

Z = {0,1,2, … ,n, … } – множина цілих чисел;

Q = { m / n | mZ, nN } – множина раціональних чисел; множину раціональних чисел можна ще охарактеризувати, як сукупність всіх десяткових періодичних дробів;

I – множина ірраціональних чисел (сукупність всіх десяткових неперіодичних дробів);

R – множина дійсних чисел; складається з раціональних та ірраціональних чисел;

C = { x + iy | x, y R, i² = - 1} – множина комплексних чисел.

Нехай U – деяка множина. Тоді сукупність B (U)= { X | XU } всіх підмножин X множини U називається булеаном множини U. Сама множина U по відношенню до елементів булеана називається універсальною.

Дата добавления: 2014-10-17