Для самоподготовки

Примерный перечень вопросов

1. Основные сведения о матрицах. Понятие матрицы, квадратной, диагональной, единичной, треугольной и нулевой матриц. Равенство матриц.

2. Операции над матрицами: сумма и произведение матриц, умножение матрицы на число, транспонирование матрицы, возведение матрицы в степень.

3. Определитель квадратной матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядка. Примеры.

4. Свойства определителей. Понятия минора и алгебраического дополнения.

5. Невырожденная и обратная матрицы. Вычисление обратной матрицы.

6. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц. Вычисление ранга элементарными преобразованиями.

7. Линейная зависимость и независимость строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.

8. Системы линейных уравнений. Понятия определенной, неопределенной, совместной, несовместной систем. Общее и частное решения. Матричная форма записи систем.

9. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли, условия существования единственного решения и множества решений.

10. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Крамера.

11. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

12. Системы линейных однородных уравнений.

13. Векторы. Понятия равных, противоположных, коллинеарных, компланарных векторов. Модуль вектора.

14. Операции над векторами. Сумма, разность векторов, умножение вектора на число. Правила треугольника и параллелограмма.

15. Координаты и модуль вектора. Скалярное произведение и угол между векторами.

16. n-мерный вектор и векторное пространство. Размерность и базис векторного пространства.

17. Евклидово пространство.

18. Линейные операторы. Понятия образа и прообраза вектора, матрицы оператора, ранга оператора.

19. Операции над линейными операторами (сумма, произведение операторов, умножение оператора на число). Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

20. Понятие квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Закон инерции и ранг квадратичной формы.

21. Положительно, отрицательно и знакоопределенная квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

22. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

23. Общее уравнение прямой и его исследование. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

24. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

25. Прямая и гиперплоскость в n -мерном пространстве. Угол между гиперплоскостями. Расстояние от точки до гиперплоскости.

26. Прямая на плоскости и в пространстве. Прямая, отрезок, луч в n -мерном пространстве. Плоскость в трехмерном пространстве.

27. Кривые второго порядка и их общее уравнение. Каноническое уравнение окружности.

28. Каноническое уравнение эллипса.

29. Каноническое уравнение гиперболы.

30. Каноническое уравнение параболы.

31. Уравнение и общее уравнение второго порядка.

32. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости.

33. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

34. Каноническое уравнение прямой в пространстве. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

35. Общие уравнения прямой в пространстве. Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

36. Условие принадлежности двух прямых в пространстве одной плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямой и плоскости. Пересечение прямой и плоскости. Условие принадлежности прямой плоскости.

37. Поверхности второго порядка: эллипсоиды, параболоиды и гиперболоиды, их канонические уравнения.

38. Основные понятия, связанные с многочленами. Схема Горнера и корни многочленов. Теорема Безу. НОД многочленов и алгоритм Евклида.

39. Разложение правильной дроби на сумму элементарных дробей.

40. Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа.

41. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел.

42. Действия над комплексными числами.

43. Извлечение корней из комплексных чисел. Формулировка основной теоремы алгебры.

44. Собственные значения и собственные векторы неотрицательных матриц. Теорема Фробениуса-Перрона. Число и вектор Фробениуса, их свойства. Продуктивность неотрицательных матриц.

45. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.

46. Продуктивные модели Леонтьева. Различные критерии продуктивности модели Леонтьева.

Дата добавления: 2014-10-17