Пример. Выборка задана интервальным вариационным рядом i xi < X ≤ xi+1 mi 1 − 5 5 − 9 9

Выборка задана интервальным вариационным рядом

i	xi < X ≤ xi+1	mi
	1 − 5
	5 − 9
	9 − 13
	13 − 17
	17 − 21

Построить гистограмму выборочной оценки плотности вероятности.

Решение.

Длина каждого интервала равна h = 4. Объем выборки, n = 100.

Подсчитаем значения m_i/(hn):

xi < X < xi+1	1 − 5	5 − 9	9 − 13	13 − 17	17 − 21
mi/(hn)	25 ·10^-3	50 ·10^-3	125 · 10^-3	30 · 10^-3	20 · 10^-3

Рисунок 16. Гистограмма интервального ряда.

Точечные оценки. Выборочная средняя и выборочная дисперсия

Оценки параметров генеральной совокупности, полученные на основании выборки, называются статистическими. Если статистическая оценка характеризуется одним числом, она называется точечной. К числу таких оценок относятся выборочная средняя и выборочная дисперсия.

Выборочная средняя определяется как среднее арифметическое полученных по выборке значений:

,

где х_i − варианта выборки;

n_i − частота варианты;

n − объем выборки.

Замечание: Выборочная средняя может также обозначаться и без нижнего индекса: .

Выборочная дисперсия представляет собой среднюю арифметическую квадратов отклонений вариант от их выборочной средней:

.

Для расчетов может быть использована также формула

,

где − выборочная средняя квадратов вариант выборки.

Статистическая оценка является случайной величиной и меняется в зависимости от выборки. Если математическое ожидание статистической оценки равно оцениваемому параметру генеральной совокупности, то такая оценка называется несмещенной, если не равно − то смещенной.

Выборочная средняя является оценкой математического ожидания случайной величины и представляет собой несмещенную оценку. Выборочная дисперсия оценивает дисперсию генеральной совокупности и является смещенной оценкой.

Для устранения смещенности выборочной дисперсии ее умножают на величину n/(n − 1) и получают

Величину S² называют несмещенной или «исправленной» выборочной дисперсией.

В некоторых случаях для удобства расчетов при определении статистических оценок переходят к условным вариантам. Например, если варианты x_i − большие числа, то используют разности

u_i = x_i − С,

где С − произвольно выбранное число (ложный ноль), такое, при котором условные варианты принимают небольшие значения. В этом случае

.

Учитывая, что , то

.

Для изменения значения варианты можно ввести также условные варианты путем использования масштабного множителя:

u_i = C·x_i,,

где С = 10^b (b выбирается положительным или отрицательным целым числом).

Пример.

Найти несмещенную оценку дисперсии случайной величины X на основании данного распределения выборки:

xi
ni

Решение.

Находим выборочную среднюю

.

Для вычисления выборочной дисперсии используем формулу :

.

Находим несмещенную оценку дисперсии («исправленную» выборочную дисперсию):

.

Дата добавления: 2014-10-17