Пример. На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов

На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от второго − 6 и от третьего − 4 двигателя. Вероятности безотказной работы этих двигателей в течение гарантийного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что:

а) установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантийного срока;

б) проработавший без дефекта двигатель изготовлен на первом заводе, на втором заводе?

Решение.

Обозначим через А₁, А₂, А₃ события установки на автомашину двигателей, изготовленных соответственно на первом, втором и третьем моторных заводах. Вероятности этих событий таковы:

p(А₁) = 0,5; p(A₂) = 0,3; p(A₃) = 0,2.

а) Вероятность того, что наугад взятый двигатель проработает без дефектов, найдем по формуле полной вероятности:

p(В) = p(А₁)·p(В\А₁) + p(А₂)·p(В\А₂) + p(А₃)·p(В\А₃),

p(B)= 0,5·0,9 + 0,3·0,8 + 0,2·0,7 = 0,83.

б) Если двигатель проработал без дефектов гарантийный срок, то вероятности, что он изготовлен на первом, на втором заводах, найдем по формуле Байеса:

Основные числовые характеристики случайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма вида

М(Х) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + x_np_n =

где x_i − возможные значения дискретной случайной величины;

p_i − вероятность появления значения x_i.

Свойства математического ожидания:

1. М(С) = С, 2. М(С·Х) = С·М(Х),

где С − произвольная постоянная величина (число).

3. M(X₁ X₂ … Х_n) = М(Х1) М(Х₂) … М(Х_n),

если Х_1, Х₂, …, Х_n − взаимно независимые случайные величины.

4. М(Х₁ + Х₂ +... + Х_n) = М(Х₁) + М(Х₂) +... + М(Х_n).

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины.

Рассеяние случайной величины около среднего значения характеризуют дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = М(Х − М(Х))².

Дисперсию целесообразно вычислять по формуле

D(X) = М(Х²) − (М(Х))².

Свойства дисперсии:

1. D(C) = 0; 2. D(C·X) = C²D(X),

где С произвольная постоянная.

3. D(X_l + Х₂ +... + Х_n) = D(X₁) + D(Х₂) +... + D(Х_n),

где X_i − независимые случайные величины.

σ(Х) = ,

где σ(Х) − среднее квадратичное отклонение.

Дата добавления: 2014-10-17