Пример. Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием

Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием

На практике часто требуется оценить, соответствуют ли действительности рекламные данные о параметрах того или иного товара. В этом случае возникает задача сравнения выборочной средней с анонсируемым значением этого параметра.

Фирма-поставщик в рекламном буклете утверждает, что средний срок безотказной работы предлагаемого изделия − 2900 ч. Для выборки из 50 изделий средний срок безотказной работы оказался равным 2720 ч при выборочном среднем квадратичном отклонении 700 ч. При 5%-ом уровне значимости проверить гипотезу о том, что значение 2900 ч является математическим ожиданием.

Решение.

Предположим, что случайная величина срока безотказной работы подчинена нормальному закону распределения. Требуется проверить гипотезу о числовом значении математического ожидания нормально распределенной величины (генеральной средней) при неизвестной генеральной дисперсии. В этом случае в качестве критерия выбирают функцию

,

где X − выборочная средняя, а₀ − математическое ожидание, S − выборочное среднее квадратичное отклонение. Случайная величина Т имеет распределение (распределение Стьюдента) с ℓ = n − 1 степенями свободы. В данной задаче речь идет о сравнении выборочной средней 2720 ч с гипотетическим математическим ожиданием , при этом выборочное среднее квадратичное отклонение равно 700 ч.

Требуется найти критическую область для нулевой гипотезы Н₀: а₀ = 2900 при альтернативной гипотезе Н₁: а₀ < 2900. Очевидно, что другие альтернативные гипотезы (а₀ > 2900 и а₀ ≠ 2900) нецелесообразны, так как потребитель обычно обеспокоен лишь тем, что срок службы изделия может оказаться меньше гарантируемого поставщиком.

Критическая область левосторонняя, значит, находим из условия

Р(Т < ) = α.

При α = 0,05 и ℓ = 50 − 1 = 49 в таблице t -распределения (Приложение1 стр. 77), находим .

Таким образом, критическая область ω = (-∞, -1,677).

Рассчитаем t_r, полагая :

.

Значение -1,8 попадает в критическую область, поэтому нулевая гипотеза Н₀ должна быть отвергнута. Следовательно, фирма в рекламе завышает срок безотказной работы изделия.

Дата добавления: 2014-10-17