Системы координат

Как известно, аналитическая геометрия изучает геометрические объекты средствами алгебры на основе метода координат. На плоскости и в пространстве можно построить большое количество систем координат, которые позволяют характеризовать положение точки с помощью числовых параметров. Это, в свою очередь, обеспечивает представление геометрических объектов (прямых, плоскостей и т.д.) на языке алгебры, т.е. в виде уравнений, неравенств и систем, что упрощает их изучение.

Прямоугольная декартовая система координат на плоскости (ПДСК) - это точка О и декартов базис плоскости.

Точка О - начало ПДСК.

Прямые и - координатные оси (оси абсцисс и ординат соответственно).

Векторы - координатные орты.

Запись: (О,) или Оху.

Прямоугольными координатами произвольной точки М плоскости в Оху называются координаты ее радиус-вектора в базисе :

Прямоугольная декартовая система координат в пространстве – это точка Ои декартов базис пространства.

Точка О - начало ПДСК.

Прямые - оси абсцисс, ординат и аппликат соответственно.

Векторы - координатные орты.

Полярная система координат на плоскости (ПСК) – точка О и направленный луч О р с выбранной единицей масштаба.

Точка О – полюс ПСК.

Луч О р – полярная ось.

Запись: .

Полярные координаты произвольной точки: М(r, j), где

- полярный радиус,

- полярный угол, .

Для точки О: - не определен.

Зависимость между ПДСК и ПСК на плоскости:

Если совместить полюс с началом координатной системы О ху, а полярную ось – с положительной полуосью О х, то связь между полярными и декартовыми координатами произвольной точки М определяется следующим образом:

в О ху и в (О, )

∆ OMN Þ (14)

(14¢)

Для вычисления полярного угла точки М по ее прямоугольным координатам предварительно выясняют, в какой четверти лежит точка М

(15)
Пример 1.8. Найти прямоугольные координаты точки М с полярными координатами (2; ).

Решение: По условию задачи: r =2, j = .

(14) Þ х =2cos()=2×=-1, y =2sin()=2×.

Ответ: М(-1; ).

Пример 1.9. Найти полярные координаты точки М с прямоугольными координатами (; -1).

Решение: По условию задачи: х= , у= -1.

(14¢) Þ.

Точка М лежит в 3 четверти, поэтому

(14¢), (15) Þ j =arctg () - p = arctg () - p = - p = -.

Ответ: M(2; ).

Дата добавления: 2014-10-22