Вычисление поверхностного интеграла I рода

Вычисление поверхностного интеграла I рода сводится к вычислению двойного интеграла по проекции поверхности (s) на одну из координатных плоскостей.

Например, если поверхность (s) имеет уравнение z = z (x, y) и проектируется однозначно в область D Ì XOY, то формула сведения поверхностного интеграла к двойному интегралу имеет такой вид:

(2)

Формула сведения поверхностного интеграла к двойномугде в декартовых координатах.

Пояснения к формуле

Если уравнение поверхности (s) имеет вид: , то – это вектор нормали к поверхности в любой ее точке (x, y, z);

в окрестности этой точки бесконечно малую часть поверхности (s) можно заменить бесконечно малой частью ее касательной плоскости, поэтому рассмотрим ds как площадь бесконечно малой части касательной плоскости, проведенной к поверхности (s) в ее точке (x, y, z);

- это проекция на плоскость XOY; тогда по свойству проекций верно, что

;

Здесь g - это угол между вектором и осью OZ, его косинус вычисляется как один из направляющих косинусов вектора :

Пример 1 (вычисление поверхностного интеграла I рода)

Вычислить , где (s) - часть поверхности цилиндра
z = 1 – x ², для которой .

Решение Строим поверхность (s) и ее проекцию D на плоскость XOY, сводим данный поверхностный интеграл к двойному интегралу по проекции и вычисляем получившийся двойной интеграл:

Дата добавления: 2014-10-15