Постановка задачи оптимизации

В процессе проектирования ставится обычно задача определения наилучших, в некотором смысле, структуры или значения параметров объ­ектов. Такая задача называется оптимизационной. Если оптимизация свя­зана с расчетом оптимальных значений параметров при заданной струк­туре объекта, то она называется параметрической. Задача выбора опти­мальной структуры является структурной оптимизацией.

Стандартная математическая задача оптимизации формулируется таким образом. Среди элементов χ, образующих множества Χ, найти такой элемент χ *, который доставляет минимальное значение f (χ *)заданной функ­ции f (χ). Для того, чтобы корректно поставить задачу оптимизации необхо­димо задать:

1. Допустимое множество –множеств .

2. Целевую функцию –отображение .

3. Критерий поиска (max или min).

Если минимизируемая функция не является выпуклой, то часто ограничиваются поиском локальных минимумов и максимумов: точек таких, что всюду в некоторой их окрестности для минимума и дл я максимума.

Если допустимое множество , то такая задача называется за­дачей безусловной оптимизации, в противном случае – задачей условной оптимизации.

Классификация методов оптимизации.

Методы оптимизации классифицируют в соответствии с задачами оптимизации:

· Локальные методы: сводятся к какому-нибудь локальному экстре­муму целевой функции. В случае унимодальной целевой функции, этот экстремум единственен, и будет глобальным максиму­мом/минимумом.

· Глобальные методы: имеют дело с многоэкстремальными целе­выми функциями. При глобальном поиске основной задачей является выяв­ление тенденций глобального поведения целевой функции.

Существующие в настоящее время методы поиска можно разбить на три большие группы: детерминированные, случайные (стохастические) и комбинированные.

По критерию размерности допустимого множества, методы опти­мизации делят на методы одномерной оптимизации и методы многомер­ной оптимизации.

По виду целевой функции и допустимого множества, задачи оп­тимизации и методы их решения можно разделить на следующие классы:

· Задачи оптимизации, в которых целевая функция и огра­ничения являются линейными функциями, разрешаются так называемыми методами линейного программирования.

В противном случае имеют дело с задачей нелинейного программи­рования и применяют соответствующие методы. В свою очередь из них выделяют две частные задачи:

· если и– выпуклые функции, то такую за­дачу называют задачей выпуклого программирования;

· если , то имеют дело с задачей целочисленного (дискрет­ного) программирования.

По требованиям к гладкости и наличию у целевой функции част­ных производных, их также можно разделить на:

· прямые методы, требующие только вычислений целевой функ­ции в точках приближений;

· методы первого порядка: требуют вычисления первых частных производных функции;

· методы второго порядка: требуют вычисления вторых частных производных, то есть гессиана целевой функции.

Помимо того, оптимизационные методы делятся на следующие группы:

· аналитические методы (например, метод множителей Лагранжа и условия Каруша-Куна-Таккера);

· численные методы;

· графические методы.

В зависимости от природы множества X задачи математического программирования классифицируются как:

· задачи дискретного программирования (или комбинаторной оптимизации) – если X конечно или четно;

· задачи целочисленного программирования – если X является подмножеством множества целых чисел;

· задачей нелинейного программирования, если ограничения или целевая функция содержат нелинейные функции и X является подмножеством конечномерного векторного пространства.

Если же все ограничения и целевая функция содержат лишь линейные функции, то это – задача линейного программирования.

Кроме того, разделами математического программирования являются параметрическое программирование, динамическое программирование и стохастическое программирование. Математическое программирование используется при решении оптимизационных задач исследования опе­раций.

Способ нахождения экстремума полностью определяется классом задачи. Но перед тем как получить математическую модель, нужно вы­полнить 4 этапа моделирования:

1. Определение границ системы оптимизации. Отбрасываем те связи объекта оптимизации с внешним миром, которые не могут сильно повлиять на результат оптимизации, а, точнее, те, без которых решение упрощается.

2. Выбор управляемых переменных. «Замораживаем» значения некоторых переменных (неуправляемые переменные). Другие оставляем принимать любые значения из области допустимых решений (управляемые переменные).

3. Определение ограничений на управляемые переменные (равенства и\или неравенства).

4. Выбор числового критерия оптимизации и создание целевой функции.

Дата добавления: 2014-10-22