Двухфакторный дисперсионный анализ

Однофакторный дисперсионный анализ

Пусть исследуется влияние некоторого фактора А, имеющего l уровней. На каждом уровне, т.е. для одного из видов фактора А, проводится измерения величины Х. Число таких измерений для всех уровней одинаково и равно q.

Составим таблицу полученных измерений. В последней строке представлены соответствующие выборочные групповые средние, рассчитанные для каждого уровня по формуле:

.

Номер измерения	Уровни фактора
А1	А2	…	Аl
… q	х11 х21 … хq1	х12 х22 … хq2	… … … …	х1l х2l … хql
Групповая средняя			…

Факторную и остаточную дисперсии рассчитывают по формулам:

;

.

где - сумма значений величины Х на каждом из уровней A _j,

- сумма квадратов этих значений.

Если, то следует сразу сделать вывод об отсутствии существенного влияния фактора А на величину Х.

Если, то необходимо проверить значимость различия этих дисперсий. Для этого используем критерий Фишера-Снедекора, вычислим экспериментальное значение критерия F:

.

Сравним его с критическим значением распределения Фишера-Снедекора.

Условие соответствует выводу о существенном влиянии фактора А на величину Х. При условии нельзя сделать вывод о существенном влиянии фактора А на величину Х.

Задача.

Проведены измерения для каждого из трех уровней некоторого фактора А. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости α=0,05 проверить нулевую гипотезу о незначительном влиянии фактора А. Исходные данные помещены в таблице.

Номер измерения	Уровни фактора
А1	А2	А3

Решение:

В терминах однофакторного дисперсионного анализа решение задачи сводится к проверке значимости различия между найденными по результатам экспериментов групповыми средними значениями.

Номер измерения	Уровни фактора
А1	А2	А3
Групповая средняя

Находим

;

;

.

;

;

.

Используя эти значения, найдем соответственно факторную и остаточную дисперсии:

Поскольку факторная дисперсия превышает остаточную, в соответствии с рассматриваемым методом следует при уровне значимости проверить значимость их различия. Для этого вычислим экспериментальное значение критерия F:

и сравним его с критическим значением распределения Фишера

Поскольку, то при уровне значимости следует сделать вывод о значимости различия между найденными групповыми средними, т.е. о наличии влияния данного фактора на результирующий признак.

Двухфакторный дисперсионный анализ является простейшим видом многофакторного дисперсионного анализа.

Пусть требуется проверить наличие влияния двух одновременно действующих факторов А и В на формирование значений величины Х, причем фактор А имеет m уровней действия (А₁, А₂, …, А_m), а фактор В – n уровней (В₁, В₂, …, В_n).

Для простоты ограничимся рассмотрением результатов таких экспериментов, в которых при действии каждой пары А_i, В_j уровней факторов (где i =1, 2,…, m; j =1, 2,…, n) производится лишь одно наблюдение и фиксируются соответствующее значение величины Х. В этом случае результаты эксперимента могут быть представлены в виде таблицы:

Уровни факторов	В1	В2	…	Вn	Среднее групповое
А1	х11	х12	…	х1n
А2	х21	х22	…	х2n
…	…	…	…	…	…
Аm	хm1	хm2	…	хmn
Среднее групповое			…

В последнем столбце этой таблицы указаны средние групповые (по строкам) значения:

соответствующие каждому из уровней А_i действия фактора А, в последней строке - средние групповые (по столбцам) значения

соответствующие каждому из уровней В_j действия фактора В.

В соответствии с методом дисперсионного анализа для проверки значимости различий между средними групповыми значениями, а также между средними групповыми значениями вычисляют факторные, и остаточную дисперсии по формулам:

;

;

,

где

Поскольку величины факторных дисперсий и характеризуют влияние соответственно факторов А и В на формирование значений величины Х, а остаточная дисперсия - влияние случайных причин, значимость влияния каждого из факторов определяется следующим образом:

Если при сравнении какая-либо из факторных дисперсий окажется меньше остаточной, то следует сразу сделать вывод об отсутствии воздействия соответствующего фактора на изучаемую величину.

Иначе, необходимо при заданном уровне значимости α вычислить эксперементальные значения критерия Фишера-Снедекора для каждого из факторов по формулам:

,.

и сравнить эти значения с соответствующим критическим значением,, которые следует найти по таблице критических значений критерия Фишера-Снедекора. Если, то при уровне значимости α можно сделать вывод о воздействии соответствующего фактора (или обоих факторов) на изучаемую величину. Если же, то при этом уровне значимости такого вывода нельзя сделать.

Задача.

Методом дисперсионного анализа при уровне значимости α=0,05 проверить эффективность воздействия двух факторов А и В на результирующий признак по результатам экспериментов, приведенных в таблице.

Уровни факторов	В1	В2	В3	В4
А1 А2 А3 А4	4,5 3,5 6,5 7,5	3,0 2,5 5,5 7,0	4,0 3,5 4,5 8,5	3,5 2,0 6,0 7,0

Решение:

Рассчитаем средние групповые по каждому уровню факторов

Уровни факторов	В1	В2	В3	В4
А1 А2 А3 А4	4,5 3,5 6,5 7,5	3,0 2,5 5,5 7,0	4,0 3,5 4,5 8,5	3,5 2,0 6,0 7,0	3,8 2,9 5,6 7,5
	5,5	4,5	5,1	4,6

По формулам вычислим

;

;

;

.

;

;

;

.

;

;

;

.

Подставив полученные значения в формулы, находим факторные и остаточную дисперсии

;

;

;

.

Поскольку обе найденные факторные дисперсии превышают остаточную, то в соответствии с правилом дисперсионного анализа необходимо рассчитать экспериментальные значения критерия Фишера:

;

и сравнить их с соответствующими критическими значениями, которые находим по таблице значений распределения Фишера.

Поскольку, при уровне значимости можно утверждать, что фактор А действительно оказывает влияние на результат. Поскольку, при уровне значимости можно сделать вывод, что фактор В не оказывает влияния на результат.

Вопросы и задания

1. Проведены измерения для каждого из трех уровней некоторого фактора А. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости α=0,05 проверить нулевую гипотезу о незначительном влиянии фактора А. Исходные данные помещены в таблице.

№ 1.1. № 1.2.

Номер измерения	Уровни фактора		Номер измерения	Уровни фактора
А1	А2	А3		А1	А2	А3

2. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости α=0,05 проверить эффективность воздействия двух факторов А и В на результирующий признак по результатам экспериментов, приведенных в таблице.

№ 2.1. № 2.2.

Уровни факторов	В1	В2	В3		Уровни факторов	В1	В2	В3
А1 А2 А3					А1 А2 А3

Глава 12. Методы компонентного анализа

Дата добавления: 2014-10-22