Прогнозирование по аддитивной и мультипликативной модели

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений, и для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1) Построение и визуальный анализ графика сезонной волны.

2) Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

3) Расчет значений сезонной компоненты.

4) Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных () в аддитивной или () в мультипликативной модели.

5) Аналитическое выравнивание уровней () или () и расчет значений с использованием полученного уравнения тренда.

6) Расчет полученных по модели значений () или ().

7) Оценка ошибки для определения степени соответствия модели ис­ходным данным. Расчет абсолютных или относительных ошибок.

8) Построение прогноза с учетом сезонных колебаний.

Задача 1.

В таблице 1 представлены квартальные данные с 2002 по 2005 год о количестве правонарушений на таможне. Требуется построить аддитивную модель временного ряда. Рассчитать прогнозную оценку количества правонарушений в первом полугодии 2006 года.

Решение:

Шаг 1. Графический анализ исходного временного ряда свидетельствует о наличии трендовой компоненты в анализируемом периоде, причемвременной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4, т.к. количество правонарушений в первый-второй кварталы ниже, чем в третий-четвертый.

Шаг 2. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого найдем скользящие средние за четыре квартала (Таблица 1, столбец 5).

;

; и т.д.

Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

Найдем разность между фактическими уровнями ряда и скользящими средними (Таблица 1, столбец 6).

Таблица 1

Год	№ квартала		Количество правонарушений,	Скользящая средняя за четыре квартала
	I			–	–
II			–	–
III			655,25	213,75
IV			665,5	349,5
	I			693,38	-336,38
II			709,38	-238,38
III			714,13	277,88
IV			703,75	316,25
	I			689,25	-299,25
II			674,88	-319,88
III			669,38	322,63
IV			690,63	214,38
	I				-233
II			687,75	-233,75
III			–	–
IV			–	–

Шаг 3. Используем эти разности для расчета значений сезонной компоненты. Для этого найдем средние значения за каждый квартал по всем годам.

Корректирующий коэффициент будет иметь следующее значение:

.

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты:

В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю, т.е..

Проверим равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:

.

Шаг 4. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины (Таблица 2, столбец 4). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 2

		-292,35	667,35		667,35
		-266, 81	636,81		1273,62
		268,6	600,4		1801,2
		290,56	724,44		2897,76
		-292,35	649,35		3246,75
		-266, 81	736,81		4420,86
		268,6	723,40		5063,8
		290,56	729,44		5835,52
		-292,35	682,35		6141,15
		-266, 81	621,81		6218,1
		268,6	723,40		7957,4
		290,56	614,44		7373,28
		-292,35	753,35		9793,55
		-266, 81	720,81		10091,34
		268,6	651,40
		290,56	636,44		10183,04
					92735,72

Шаг 5. Определим компоненту данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда () с помощью линейного тренда.

Подставим значения сумм столбцов 1, 4, 5, 6 таблицы 2 в систему уравнений метода наименьших квадратов для линейного тренда:

Решая эту систему методом Крамера, находим значение коэффициентов а₀ и а₁.

Результаты аналитического выравнивания следующие:

Подставляя в это уравнение значения, найдем уровни для каждого момента времени (Таблица 3, столбец 4).

Таблица 3

		-292,35	672,36	380,01	-5,01	25,10	92799,44
		-266, 81	673,31	406,5	-35,50	1260,25	95252,48
		268,6	674,26	942,86	-73,86	5455,30	35861,00
		290,56	675,21	965,77	49,23	2423,59	112473,04
		-292,35	676,16	383,81	-26,81	718,78	104090,12
		-266, 81	677,11	410,3	60,70	3684,49	43526,48
		268,6	678,06	946,66	45,34	2055,72	97575,02
		290,56	679,01	969,57	50,43	2543,18	115851,74
		-292,35	679,96	387,61	2,39	5,71	83885,54
		-266, 81	680,91	414,1	-59,10	3492,81	105384,64
		268,6	681,86	950,46	41,54	1725,57	97575,02
		290,56	682,81	973,37	-68,37	4674,46	50791,64
		-292,35	683,76	391,41	69,59	4842,77	47799,08
		-266, 81	684,71	417,9	36,10	1303,21	50908,90
		268,6	685,66	954,26	-34,26	1173,75	57777,74
		290,56	686,61	977,17	-50,17	2517,03	61191,92
						37901,71	1252743,75

Шаг 6. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (Таблица 3, столбец 5).

Шаг 7. Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок.

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97% общей вариации уровней временного ряда количества правонарушений по кварталам за 4 года.

Шаг 8. Прогнозирование по аддитивной модели. Необходимо дать прогноз количестве правонарушений на первое полугодие 2006 года, т.е. на I и II кварталы 2006 года. Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда

.

Получим

Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны: и. Таким образом,

Т.е. в первые два квартала 2006 г. следовало ожидать порядка 395 и 422 правонарушений соответственно.

Задача 2.

В таблице 1 представлены квартальные данные с 2002 по 2005 год о количестве правонарушений на таможне. Требуется построить мультипликативную модель временного ряда. Рассчитать прогнозную оценку количества правонарушений в первом полугодии 2006 года.

Решение:

Шаг 1. На координатной плоскости откладываем фактические значения уровней временного ряда:

Шаг 2. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой построения аддитивной модели.

Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на скользящие средние (Таблица 1, столбец 6).

Таблица 1

Год	№ квартала		Количество правонарушений,	Скользящая средняя за четыре квартала
	I			–	–
II			–	–
III			655,25	1,33
IV			665,5	1,53
	I			693,38	0,51
II			709,38	0,66
III			714,13	1,39
IV			703,75	1,45
	I			689,25	0,57
II			674,88	0,53
III			669,38	1,48
IV			690,63	1,31
	I				0,66
II			687,75	0,66
III			–	–
IV			–	–

Шаг 3. Используем полученные оценки для расчета сезонной компоненты. Для этого найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты. Для этого найдем средние значения за каждый квартал по всем годам.

Корректирующий коэффициент будет иметь следующее значение:

.

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты:

Проверим равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:

.

Так же как и в аддитивной модели считается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла равно 4, т.е..

Проверяем условие равенства 4 суммы значений сезонной компоненты:

Шаг 4. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. В результате получим величины (Таблица 2, столбец 4), которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 2

		0,58	646,55		646,55
		0,61	608,20		1216,39
		1,39	625,18		1875,54
		1,42	714,79		2859,15
		0,58	615,52		3077,59
		0,61	772,13		4632,79
		1,39	713,67		4995,68
		1,42	718,31		5746,48
		0,58	672,41		6051,72
		0,61	581,97		5819,67
		1,39	713,67		7850,36
		1,42	637,32		7647,89
		0,58	794,83		10332,76
		0,61	744,26		10419,67
		1,39	661,87		9928,06
		1,42	652,82		10445,07
			10873,5		93545,38

Шаг 5. Рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни.

Подставим значения сумм столбцов 1, 4, 5, 6 таблицы 2 в систему уравнений метода наименьших квадратов для линейного тренда:

Решая эту систему методом Крамера, находим значение коэффициентов а₀ и а₁.

В результате получим уравнение тренда:

Определим компоненту в мультипликативной модели. Подставляя в это уравнение значения, найдем уровни для каждого момента времени (Таблица 3).

Таблица 3

						Е^2
		0,58	654,88	379,83	0,99	0,97	92799,44
		0,61	658,18	401,49	0,92	0,85	95252,48
		1,39	661,48	919,46	0,95	0,89	35861,00
		1,42	664,78	943,99	1,08	1,16	112473,04
		0,58	668,08	387,49	0,92	0,85	104090,12
		0,61	671,38	409,54	1,15	1,32	43526,48
		1,39	674,68	937,81	1,06	1,12	97575,02
		1,42	677,98	962,73	1,06	1,12	115851,74
		0,58	681,28	395,14	0,99	0,97	83885,54
		0,61	684,58	417,59	0,85	0,72	105384,64
		1,39	687,88	956,15	1,04	1,08	97575,02
		1,42	691,18	981,48	0,92	0,85	50791,64
		0,58	694,48	402,80	1,14	1,31	47799,08
		0,61	697,78	425,65	1,07	1,14	50908,90
		1,39	701,08	974,50	0,94	0,89	57777,74
		1,42	704,38	1000,22	0,93	0,86	61191,92
∑						16,11	1252743,75

Шаг 6. Найдем уровни ряда, умножив значения на соответствующие значения сезонной компоненты (Таблица 3, столбец 5).

На графике откладываем теоретические значения уровней временного ряда, полученные по мультипликативной модели.

Шаг 7. Расчет ошибки в мультипликативной модели производится по формуле:

(Таблица 3, столбец 6).

Для сравнения мультипликативной модели и других моделей временного ряда можно, по аналогии с аддитивной моделью, использовать сумму квадратов абсолютных ошибок Е² (Таблица 3, столбец 7):

.

Сравнивая показатели детерминации аддитивной и мультипликативной моделей, делаем вывод, что они примерно одинаково аппроксимируют исходные данные.

Шаг 8. Прогнозирование по мультипликативной модели. Если предположить, что по нашему примеру необходимо дать прогноз об общем объеме правонарушений на I и II кварталы 2006 года, прогнозное значение уровня временного ряда в мультипликативной модели есть произведение трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда

Получим

Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны: и. Таким образом

Т.е. в первые два квартала 2006 г. следовало ожидать порядка 411 и 434 правонарушений соответственно.

Таким образом, аддитивная и мультипликативная модели дают примерно одинаковый результат по прогнозу.

Вопросы и задания

1. В таблице представлены квартальные данные с 2006г. по 2009г. о вводе в действие жилых домов:

Год	№ квартала		Ввод в действие жилых домов, тыс. м^2
	I
II
III
IV
	I
II
III
IV
	I
II
III
IV
	I
II
III
IV

Требуется построить аддитивную модель временного ряда. Рассчитать прогнозную оценку уровня вводимого жилья в первом полугодии 2010 года.

2. На основании информации о продаже мяса в ретроспективном периоде:

Год	№ квартала		Объем продаж
	I
II
III
IV
	I
II
III
IV
	I
II

Требуется составить прогноз продаж на III, IV кварталы 2009 года используя аддитивную модель временного ряда.

Глава 10. Ранговая корреляция

Дата добавления: 2014-10-22