Модели прогнозирования тенденций экономических процессов

Простейшие трендовые модели

Прогнозная экстраполяция. Понятие тренда

Изучение закономерностей развития явлений, выявление трендов и их моделей создает базу для прогнозирования. Любой метод прогнозирования предполагает, что закономерность развития, действовавшая в прошлом, сохраниться и в прогнозируемом будущем.

Экстраполяция - определение будущих, ожидаемых значений экономических величин, показателей на основе имеющихся данных об их изменении в прошлые периоды; т.е. продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. Математически экстраполяция сводится к продолжению кривой, характеризующей предыдущее изменение экономического показателя.

Нахождение по имеющимся данным за определенный период времени некоторых недостающих значений внутри рассматриваемого признака называется интерполяцией.

При наличии тенденции во временном ряду его уровни можно рассматривать как функцию времени:

где - уровни динамического ряда, вычисленные по соответст­вующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Уравнение, которое выражает зависимость уровней динамического ряда от фактора времени t, называется уравнением тренда.

Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом изображении ряда динамики.

Простейшими моделями, выражающими тенденцию развития, являются:

• линейная функция - прямая

• кривая 2-го порядка (парабола)

где а₀, a₁, a₂ - параметры уравнения;

t - время.

После выбора вида функции (прямая, показательная функция, парабола 2-го порядка и др.) рассчитываются ее параметры.

Оценка парамет­ров производится по методу наименьших квадратов (МНК): строится система нормальных уравнений, число которых соответствует числу параметров полинома. Так, для линейного тренда система нормаль­ных уравнений следующая:

где n - число уровней ряда динамики;

t - условное обозначение фактора времени порядковыми номе­рами. Отсчет времени начинается с единицы;

у - фактические уровни ряда динамики.

На основе найденного уравнения кривой модели тренда рассчи­тываются выровненные уровни ряда. Таким образом, технически вы­равнивание ряда заключается в замене фактических уровней выров­ненными.

Процесс вычисления параметров трендовых моделей при ручном способе счета может быть упрощен, если перенести начало координат в середину ряда динамики.

Если число уровней в динамическом ряду нечетное (n=2p+1), то временные периоды обозначаются следующим образом:

t = -p,…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…, p.

Если число уровней в динамическом ряду четное (n=2p), то временные периоды обозначаются следующим образом:

t = -(2p-1),…, -5, -3, -1, 1, 3, 5,…, (2p-1).

После переноса начала координат в середину ряда динамики, где показатель степени k – нечетное число.

Такой подход существенно упрощает системы нормальных уравнений для расчета параметров соответствующих функций:

Наименование функции	Вид функции	Система нормальных уравнений для нахождения параметров уравнения тренда
Линейная
Экспоненциальная
Парабола второго порядка
Показательная
Гиперболическая

Задача.

В таблице представлены квартальные данные о прибыли компании.

Порядковый номер квартала, t	Прибыль компании,	Порядковый номер квартала, t	Прибыль компании,	Порядковый номер квартала, t	Прибыль компании,
	70,4		105,2		137,4
	78,3		108,4		145,2
			117,1		159,8
	88,5		121,3		166,7
	99,9		126,9		182,4

Требуется рассчитать прогноз прибыли в следующем (16-м) квартале, предположив, что тенденция ряда может быть описана:

а) линейной моделью;

б) параболической моделью.

Решение:

а) Для расчета коэффициентов линейного тренда воспользуемся выражениями, полученными из системы нормальных уравнений после переноса начала координат в середину ряда. Так как число уровней ряда динамики – нечетное (n=15), то центральный уровень (восьмой) принимается за начало отсчета, ему соответствует t=0. Вышестоящие уровни нумеруются с шагом -1, нижестоящие – с шагом +1.

В таблице представлены необходимые вспомогательные вычисления.

№		t
	70,4	-7	-492,8
	78,3	-6	-469,8
		-5	-410
	88,5	-4	-354
	99,9	-3	-299,7
	105,2	-2	-210,4
	108,4	-1	-108,4
	117,1
	121,3		121,3
	126,9		253,8
	137,4		412,2
	145,2		580,8
	159,8
	166,7		1000,2
	182,4		1276,8
∑	1789,5

В соответствии с системой нормальных уравнений для нахождения параметров уравнения линейного тренда

находим значения параметров:

Следовательно, уравнение линейного тренда имеет вид:

.

Для прогнозирования на базе полученной модели на одну точку вперед необходимо в нее подставить соответствующее значение временного параметра, т.е. t=8. Если бы оценки коэффициентов модели были получены без переноса начала координат в середину ряда, то следовало бы подставить в модель значение временного параметра t=16.

Рассчитаем прогнозное значение прибыли:

.

б) Для расчета коэффициентов параболического тренда заполним расчетную таблицу:

№		t
	70,4	-7	-492,8		3449,6
	78,3	-6	-469,8		2818,8
		-5	-410
	88,5	-4	-354
	99,9	-3	-299,7		899,1
	105,2	-2	-210,4		420,8
	108,4	-1	-108,4		188,4
	117,1
	121,3		121,3		121,3
	126,9		253,8		507,6
	137,4		412,2		1236,6
	145,2		580,8		2323,2
	159,8
	166,7		1000,2		6001,2
	182,4		1276,8		8937,6
∑	1789,5				34285,2

Воспользуемся системой нормальных уравнений после переноса начала координат в середину ряда для нахождения параметров уравнения тренда.

Из системы определяем:

Затем решаем систему из двух уравнений:

Следовательно,

;

.

Таким образом, уравнение параболического тренда примет вид:

.

Для определения прогноза показателя надо подставить в полученную модель соответствующее значение временного параметра (t=8).

Тогда прогноз будет соответствовать:

.

Прогноз по параболической модели носит более «оптимистичный» характер, так как полученная оценка прибыли выше, чем по линейной модели.

На рисунке представлены исходный временной ряд и графики линий трендовых моделей: линейной и параболической.

Графический анализ свидетельствует о том, что параболическая модель лучше описывает тенденцию временного ряда. Прогнозное значение, полученное по линейной модели, сильно занижено.

Вопросы и задания

1. В таблице представлены данные о доходах американских компаний, занимающихся выпуском персональных компьютеров.

Порядковый номер квартала, t	Доход компаний,	Порядковый номер квартала, t	Доход компаний,	Порядковый номер квартала, t	Доход компаний,

Требуется рассчитать прогноз дохода компаний в следующем (10-м) квартале, предположив, что тенденция ряда может быть описана параболической моделью.

2. В таблице представлены данные, отражающие динамику курса акций некоторой компании (ден.ед.):

t
yt

Требуется рассчитать прогноз курса акций компании в следующем (11-м) квартале, предположив, что тенденция ряда может быть описана линейной моделью.

Глава 9. Прогнозирование сезонных процессов

Дата добавления: 2014-10-22