Основные понятия дисперсионного анализа

Коэффициент ранговой корреляции Кендалла

Другой коэффициент ранговой корреляции получил популярность после работ М. Кендэлла. В качестве меры сходства между двумя ранжированными последовательностями, используется минимальное число перестановок соседних объектов, которые надо сделать, чтобы одно упорядочение объектов превратить в другое. Пусть один ряд упорядочен, а второй состоит из чисел s_j. Тогда K равно числу инверсий в последовательности {s_j}. Пусть, например, n = 4 и (s_j) = (4, 3, 1, 2). Инверсии (нарушения порядка) суть:

- первый элемент последовательности дает три инверсии: 4 прежде 3, 4 прежде 1, 4 прежде 2. - второй элемент дает две инверсии: 3 прежде 1, 3 прежде 2. Всего инверсий в данном случае K = 5 = 3 + 2.

Наименьшее возможное значение K = 0, наибольшее K = n(n - 1)/2. Эти значения получаются при полном совпадении и полной противоположности ранговых последовательностей. Коэффициент ранговой корреляции по Кендаллу:

где - объем выборки, K – сумма рангов.

Абсолютная величина коэффициента ранговой корреляции Кендалла не превышает единицы:.

Задача.

Два контролера расположили 10 деталей в порядке ухудшения их качества. В итоге были получены две последовательности рангов:

xi
yi

Используя коэффициент ранговой корреляции Кендалла, определить согласуются ли оценки контролеров.

Решение:

Посчитаем количество инверсий для рангов y_i (количество рангов справа от y_i меньших данного ранга). Например, y₁ =2, права от него меньше 2, только 1, значит k₁ =1 и т.д. Следовательно, получаем:

k₁ =1, k₂ =0, k₃ =0, k₄ =0, k₅ =4, k₆ =3, k₇ =3, k₈ =0, k₉ =1, k₁₀ =0.

К=1+0+0+0+4+3+3+0+1+0=12.

Найдем коэффициент ранговой корреляции Кендалла, учитывая, что К=12, n =10:.

Таким образом, оценки контролеров согласуются не достаточно хорошо.

Вопросы и задания

1. При приеме на работу семи кандидатам было предложено два теста. Результаты тестирования приведены в таблице:

Тест 1
Тест 2

Вычислить коэффициент ранговой корреляции Спирмена между результатами тестирования по двум тестам и на уровне α=0,05 оценить его значимость. Найти коэффициент ранговой корреляции Кендалла.

2. Рассмотрим результаты оценочных тестов восьми кандидатов:

Математика
Логика речи

Найти коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла между оценками по двум тестам.

3. По результатам тестирования 10 студентов по двум дисциплинам А и В на основе набранных баллов получены следующие ранги:

А					7,5	7,5	7,5	7,5
В	2,5				2,5			9,5		9,5

Вычислить коэффициент ранговой корреляции Спирмена и проверить его значимость на уровне α=0,05. Найти коэффициент ранговой корреляции Кендалла.

Глава 11. Дисперсионный анализ

Во многих экономических задачах требуется оценить влияние различных качественных факторов на изучаемую величину Х. Например, разные формы организации производства могут оказывать существенное или несущественное влияние на прибыль фирмы или предприятия. Другим примером может служить задача оценки эффективности различных видов удобрений. Данный фактор А можно разделить на ряд уровней, в качестве которых могут выступать, например, разные формы организации производства или разные виды удобрений.

Для изучения влияния факторов, характеризующихся несколькими уровнями применяют дисперсионный анализ (от латинского Dispersio – рассеивание). Суть метода заключается в том, что дисперсия величины Х разделяется на две части: одна часть – факторная дисперсия вызвана действием фактора А, вторая – остаточная дисперсия обусловлена случайными причинами. Если выясняется, что факторная дисперсия невелика по сравнению с остаточной, то фактор не оказывает существенного влияния на Х.

В зависимости от количества изучаемых факторов различают однофакторный и многофакторный дисперсионные анализы.

Дата добавления: 2014-10-22