Алгоритм решения задачи компонентного анализа

Модель компонентного анализа

Задача компонентного анализа

Компонентный анализ имеет дело с множеством неизвестных факторов и связей. При этом не только число таких факторов и характер их взаимосвязи заранее неизвестны, многие из них латентны и проявляются лишь опосредованно через внешние признаки или их группы. Задача заключается в том, чтобы на основе множества внешних (существенных, мало существенных, и многочисленных ничтожных) признаков найти небольшое, но значимое число их гибридов – компонент.

Значения искомых компонент находятся методом объединения исходных первичных факторов в те или иные группы по тем или иным признакам их связи. Однако компоненты могут находится путем разложения наблюдаемых укрупненных факторов на составляющие.

В первом случае искомые компонентные значения находятся с помощью метода главных компонент. При этом в качестве первой главной компоненты выбирают фактор-признак, вдоль которого массив других наблюдаемых признаков имеет наибольший разброс, а в качестве каждой последующей – очередной по убывающему рангу фактор-признак с максимальным разбросом значений наблюдаемых признаков. Находимые компоненты на всем протяжении расчетного процесса должны быть ортогональны по отношению друг к другу.

Процедура нахождения искомых компонент путем разложения укрупненных факторов на составляющие части аналогична процедуре разложения общей дисперсии на межгрупповые и внутригрупповые.

Модель компонентного анализа описывается уравнением

где Z – матрица () стандартизованных значений исходных объектов и их признаков;

А – матрица () компонентных нагрузок отражающих связь между и;

G – матрица () индивидуальных значений r скрытых признаков, называемых компонентами.1

Исходная матрица компонентного анализа для случая представляется в виде следующей системы уравнений:

Исключив нагрузки, близкие к нулю, т.е. нагрузки, отражающие отсутствие связи между и, и оставив только существенные нагрузки, приводим к упрощению матрицы.

Задача компонентного анализа – определить, сколько выделить компонент и каких именно, чтобы по возможности точно воспроизвести и объяснить с их помощью наблюдаемые связи, представляемые в виде корреляционной матрицы.

Задачи компонентного анализа решаются по шагам:

1. Строим матрицу Х:

где - значение j -го показателя у i -го наблюдения.

2. Вычислим среднее значение показателей, а также.

3. Построим матрицу нормированных отклонений Z:

;

, при этом.

4. Формируем матрицу парных коэффициентов корреляции R:

При этом, где

5. Преобразуем матрицу А в диагональную матрицу Λ собственных значений многочлена, где Е – единичная матрица.

6. Решим уравнение:

корнями которого являются k собственных значений:

.

7. Построим матрицу собственных значений:

8. Найдем на основе приведенной матрицы собственные значения, характеризующие вклады соответствующих главных компонент в суммарную дисперсию исходных признаков, равную K, т.е.

При этом первая главная компонента оказывает наибольшее влияние на общую вариацию, а последняя K -я – наименьшая.

9. Определим вклад V-й главной компоненты в суммарную дисперсию как

10. Определим суммарный вклад m первых главных компонент, доля которых должна составлять не менее 60-70%:

11. Построим матрицу факторных нагрузок:

,

где V - матрица, составленная из нормированных векторов.

12. Определим собственно вектор U_y, соответствующий собственному значению λ_y корреляционной матрицы R. Значение U_y находим как отличное от нуля путем решения уравнения.

13. Найдем стандартизированное значение собственного вектора

.

14. Исчислим матричный коэффициент a_jν, где j =1,2,…, k - коэффициенты, отражающие тесноту связи между X_j показателем и f_ν -й главной компонентой, причем, а

.

15. Интерпретируем матрицу факторных нагрузок А как линейных функций исходных признаков. При этом в ходе экономической интерпретации полученных функций f_ν используем лишь те X_j, для которых

.

16. Построим сводную матрицу всего множества компонент для каждого компонента в отдельности и для всей их совокупности в целом:

,

где F – матрица нормированных значений исходных показателей, на основе которой по алгоритму происходит распознавание главных компонент, дающих в сжатом виде представление о всей структуре наблюдаемых взаимосвязей.

17. Интерпретируя те главные компоненты, собственные значения которых больше единицы, определяем их вклад в суммарную дисперсию, и проводим их оптимизацию.

Вопросы и задания

1. Сформулируйте постановку задачи компонентного анализа.

2. Сформулируйте математическую постановку задачи компонентного анализа.

3. Какие шаги необходимо выполнить для решения задачи компонентного анализа.

Глава 13. Факторный анализ

Дата добавления: 2014-10-22