Непрерывные случайные величины

Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно – дифференцируемая функция с непрерывной производной. Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее х:

F(x) = P (X < x).

Свойства:

1. Все значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1], т.е. 0 ≤ F(x) ≤ 1.

2. Функция F(x) неубывающая.

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат некоторому интервалу (a;b), то F(x) = 0 при х ≤ a и F(x) = 1 при х ≥ b.

(! Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси Ох, то справедливы следующие соотношения: и ).

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x): f(x) = F^/ (x).

Из определения следует, что , где t – переменная интегрирования.

Пример 27. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x)=Найти плотность распределения f(x).

Решение: т.к. f(x)=F^/ (x), то f(x)= =

Ответ: f(x)= .

Пример 28. Случайная величина задана плотностью распределения

f(x)= Найти функцию распределения.

Решение: воспользуемся формулой . По условию если х≤0, то f(x)=0, следовательно, F(X)= = 0. Если 0 < x ≤ p, то f(x) = , следовательно, F(x)= == = −0,5(cosx - cos0) = =. Если х>p, то

F(x)= == = −0,5 (cosp - cos0) = 1.

Таким образом, искомая функция распределения примет вид

F(x)=

Свойства плотности распределения:

1. f (x) ≥ 0 для всех х.

2. .

Пример 29. Задана плотность распределения случайной величины Х:

f (x)=. Найти параметр А.

Решение: по второму свойству имеем Þ += 1.

Отсюда получаем А×=1. Вычислим несобственный интеграл = = == (0 − 1) = .

Следовательно, А×= 1 Þ А = 3.

Ответ: А = 3.

Дата добавления: 2014-10-22