Определение производной. Дифференцируемость функции

Занятие 1

Пусть функция определена в некоторой области D. Зафиксируем аргумент и зададим ему приращение . Получим аргумент , которому соответствует значение функции . Разность

называется приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента .

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

.

Если существует предел данного отношения при , то он называется производной от функции в точке , т.е. производной от функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Производную принято обозначать так:

(1)

Для существования производной в точке необходимо, чтобы функция была определена в некоторой окрестности этой точки, в том числе и в самой точке.

Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Раздел математического анализа, занимающийся вопросами, связанными с производной, называется дифференциальным исчислением.

Если функция имеет производную в точке , то она называется дифференцируемой в этой точке.

Замечание: если говорят, что функция имеет производную в точке, то подразумевают, что этот предел (1) конечен. Но может случиться, что существует бесконечный предел (1), равный или . В этих случаях говорят, что функция имеет в точке бесконечную производную (равную , или ).

Если функция дифференцируема в точке (т.е. имеет конечную производную), то она непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно. Существуют функции, всюду непрерывные, но при некоторых значениях аргумента не имеющие производной.

Дата добавления: 2014-10-22