Решение. 1. Найдем критические точки функции, лежащие внутри отрезка

1. Найдем критические точки функции, лежащие внутри отрезка. Для этого воспользуемся необходимым условием экстремума.

2. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

.

3. Среди вычисленных значений выберем наименьшее и наибольшее:

.

Ответ: .

Кривая называется выпуклой на интервале , если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Кривая называется вогнутой на интервале , если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

Промежутки выпуклости и вогнутости кривой определяются по знаку производной второго порядка.

Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Необходимое условие точки перегиба. Если в точке перегиба функции существует производная второго порядка, то она равна нулю, то есть .

Точки, для которых выполняется необходимое условие перегиба, называются точками, подозрительными на перегиб.

Достаточное условие точки перегиба. Если для точки выполняется необходимое условие перегиба, и при переходе через эту точку производная второго порядка меняет знак (не важно с какого на какой), то точка является точкой перегиба кривой .

Таким образом, с помощью производной второго порядка определяются промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба. Делается это следующим образом.

1. Находятся точки, подозрительные на перегиб, используя необходимое условие перегиба. Для этого вычисляется производная второго порядка и приравнивается к нулю.

2. Область определения функции разбивается точкой, подозрительной на перегиб, на промежутки и определяется знак производной второго порядка в каждом промежутке. По знаку производной определяются промежутки выпуклости и вогнутости, а по достаточному условию перегиба – точки перегиба.

Пример 3. Определить промежутки выпуклости и вогнутости и найти точки перегиба графика функции .

Дата добавления: 2014-10-22