Исследование функций с помощью производных

Занятие 7

Промежутки возрастания и убывания функции называются промежутками монотонности.

Промежутки монотонности определяются по знаку производной первого порядка..

Точка называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, для всех точек которой выполняется условие .

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, для всех точек которой выполняется условие .

Точки минимума и максимума называются точками экстремума.

Необходимое условие экстремума. Если точка является точкой экстремума функции , то производная от функции в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

Точки, для которых выполняется необходимое условие экстремума, называются критическими или подозрительными на экстремум.

Достаточное условие экстремума. Пусть функция непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку , и дифференцируема во всех точках интервала (кроме, может быть, самой точки ). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при функция имеет максимум, а если с минуса на плюс, то функция в этой точке имеет минимум.

Таким образом, с помощью производной первого порядка для функции можно найти промежутки монотонности и точки экстремума. Делается это следующим образом.

1. Находятся критические точки, используя необходимое условие экстремума. Для этого вычисляется производная и приравнивается к нулю.

2. Область определения функции разбивается критическими точками на промежутки и определяется знак производной в каждом промежутке. По знаку производной определяются промежутки монотонности, а с использованием достаточного условия экстремума – точки экстремума.

Пример 1. Определить промежутки монотонности и точки экстремума функции .

Дата добавления: 2014-10-22