Уравнение Максвелла в интегральной форме

Система уравнений Максвелла.

В лекции изложены уравнения Максвелла в интегральной, дифференциальной и комплексной форме, а также уравнение непрерывности.

, (1)

, (2)

(3)

(4)

Первое уравнение Максвелла (1) является обобщением закона Био-Савара-Лапласа (I — ток в проводе длиной dl, г - расстояние от оси провода), на случай переменного тока. Закон Био-Савара - результат экспериментальных исследований магнитных полей тонких проводников с током, проведенных Ж. Био и Ф. Саваром в 1820 г., который П. Лаплас сформулировал в виде:

Для прямолинейного проводника с током . Таким образом, было до казано, что вокруг проводника с током существует магнитное поле, индукция которого (В) пропорциональна силе тока, протекающего в проводнике.

Максвелл предположил, что магнитное поле порождается не только током проводимости, но и током смещения (рис.21).

В некоторых источниках в качестве основы первого уравнения Максвелла считают закон Ампера, но он определяет силу, действующую на элемент тока:

В случае двух прямолинейных параллельных проводников , где d - расстояние между проводниками 1 и 2.

Введенный Максвеллом ток смещения — это по существу изменяющееся во времени электрическое поле. Основанием назвать эту величину «током» служит лишь совпадение ее размерности с размерностью тока. Из физических свойств действительного тока ток смещения обладает лишь одним - способностью создавать магнитное поле. Введение тока смещения позволило «уравнять в правах» электрическое и магнитное поля.

Сумму тока проводимости и тока смещения называют полным током.

Второе уравнение Максвелла (2) является обобщением закона электромагнитной индукции М. Фарадея.

Левая часть (2) - э. д. с. (электродвижущая сила), наводимая в контуре L; правая часть (2) — изменение во времени магнитного потока. Знак «минус» в правой части соответствует правилу Ленца: «Наведенный ток всегда направлен так, чтобы противодействовать причине, его вызывающей».

Третье уравнение Максвелла (3) является распространением теоремы Гаусса (левая часть - поток вектора D через S, правая часть - полный заряд, заключенный в S, для непрерывного и дискретного распределения заряда) на случай переменного ЭМП. Теорема Гаусса была доказана для электростатического поля. Максвелл постулировал справедливость этого закона для произвольных веществ, зарядов и полей.

Силовые линии электрического поля начинаются и заканчиваются на зарядах - носителях электрического поля. При отсутствии электрических зарядов силовые линии электрического поля будут замкнутыми.

В случае электропроводной среды заряд стороннего источника будет создавать ток проводимости. В этом случае, можно записать в виде:

Четвертое уравнение Максвелла (4) является аналогом теоремы Гаусса для магнитного поля и выражает отсутствие магнитных зарядов. Входящий и выходящий потоки через S равны. Силовые линии В замкнуты.

Интегральные уравнения Максвелла применяются для физических объектов. Для получения уравнений в дифференциальной форме необходимо осуществить предельный переход, при котором данный объект стягивается в точку.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме выполняются в любой точке пространства:

(5)

(6)

(7)

. (8)

Первое (5) и второе (6) уравнения Максвелла выводятся из (1) и (2) соответственно с использованием формулы Стокса . Например, для (1):

После преобразования левой части (1) получаем интегралы по одной и той же поверхности, что позволяет приравнять подынтегральные функции. После выполнения предельного перехода при S—»0 получаем (5).

Аналогичным образом выводится (6). Операции интегрирования и дифференцирования у непрерывной функции можно менять местами.

Обратный переход к (1) и (2) от (5) и (6) выполняется интегрированием последних по площади, охватываемой замкнутым контуром, и преобразованием ротора по формуле Стокса.

Первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме показывает, что вихревое магнитное поле создается как плотностью тока проводимости, так и тока смещения.

Второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме показывает, что вихревое электрическое поле создается изменением во времени индукции магнитного поля.

Третье (7) и четвертое (8) уравнения Максвелла выводятся из (3) и (4) соответственно с использованием формулы Остроградского-Гаусса

Обратный переход к (3) и (4) от (7) и (8) выполняется интегрированием последних по объему V, охватываемому замкнутой поверхностью S, и преобразованием дивергенции по формуле Остроградского-Гаусса.

Третье и четвертое уравнения Максвелла в дифференциальной форме показывают наличие носителей у электрического поля (7) и отсутствие носителей у магнитного поля (8).

Уравнение непрерывности. Уравнением непрерывности называют дифференциальную форму закона сохранения заряда

(9)

Из (9) следует, что в точках, являющихся источниками j_np, происходит убывание заряда. Уравнение непрерывности выводится из закона сохранения заряда после преобразования левой части по теореме Остро-градского-Гаусса и правой части по (3) или

.

Кроме того, (9) можно вывести из (8), применив операцию «div»:

(11)

После преобразования левой части операции дифференцирования по времени и дивергенции в правой части и применения затем (10) получим уравнение непрерывности.

Без введения тока смещения уравнения системы Максвелла и уравнение непрерывности не выполняются.

Если приравнять к нулю ток смещения в (1), то получается, что если контур L не охватывает провода с током, то . Аналогично с (8), если, то из (11) следует, что всегда . В обоих случаях явно не хватает слагае­мого для случая переменного тока. Введение Максвеллом тока смещения сняло указанные противоречия при соблюдении (10).

Уравнения Максвелла в комплексной форме. В радиотехнике часто используются гармонические колебания. В линейных и линеаризованных системах удобно использовать метод комплексных амплитуд. В этом случае от реального сигнала cos () с помощью добавления мнимой составляющей isin () по формуле Л. Эйлера переходят к комплексному представлению сигнала exp (i()).

Когда анализ завершен, для получения окончательного ответа из комплексного результата достаточно выделить действительную часть.

В комплексной форме операции интегрирования и дифференцирования по времени существенно упрощаются:

Комплексную амплитуду (кроме амплитуды в нее входит и начальная фаза) будем обозначать точкой сверху. В комплексной форме уравнения (5) и (6) будут иметь вид

rot (12)

(13)

Введение делает уравнения (12) и (13) похожими. В случае наличия магнитных потерь аналогичная замена () проводится с (13):

Уравнения (7)-(8) в комплексной форме особых изменений не имеют

(14)

Кроме того, данные уравнения могут быть выведены после применения операции «дивергенция» к (12) с учетом (9) и (13), что позволяет считать (14) следствием первой пары уравнений Максвелла (12) и (13).

Уравнение непрерывности в комплексной форме:

Лекция 6

Дата добавления: 2014-10-22