Метод замены плоскостей проекций

МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА

При решении многих задач начертательной геометрии бывает целесообразно преобразовать проекции одной или нескольких фигур таким образом, чтобы они заняли частное положение относительно плоскостей: параллельное либо перпендикулярное.

Методами преобразования комплексного чертежа являются метод замены плоскостей проекций, метод плоскопараллельного перемещения, метод вращения вокруг проецирующей оси, метод вращения вокруг линии уровня. Данными методами можно выполнить четыре основные задачи преобразования.

1. Прямую линию общего положения преобразовать в прямую линию уровня.

2. Прямую линию уровня преобразовать в прямую линию проецирующую.

3. Плоскость общего положения преобразо­вать в плоскость проецирующую.

4. Плоскость проецирующую преобразовать в плоскость уровня.

Формулировки и результаты решения этих задач для разных методов преобразования – одинаковы, но процесс решения отличается.

Сущность этого способа состоит в том, что при неизменном положении в пространстве заданного оригинала вводится новая плоскость проекций, которую располагают так, чтобы оригинал занимал к ней частное положение. Обязательным условием является взаимная перпендикулярность введённой и одной из имеющихся плоскостей проекций.

Поскольку проецирование ортогональное, то направление проецирования на новую плоскость проекций осуществляется параллельно одной плоскости проекций, сохранившейся от предыдущей системы. Расстояние от оригинала до вводимой плоскости проекций может быть произвольным.

На рис. 6.1 введена новая плоскость П₄ перпендикулярно плоскости П₁. Полученная проекция – А₄. Согласно методу Монжа, положение точки в пространстве определяется двумя ее проекциями, например А₁ А₂. Из рис. 6.1 видно, что и другая пара проекций – А₁А₄ также определяет положение точки в пространстве. Системы плоскостей П₁П₂ и П₁П₄ равноправны, так как плоскости П₂ и П₄ перпендикулярны П₁. Поэтому свойства, установленные ранее для системы плоскостей П₁П₂, распространяются на новую систему П₁П₄. Таким образом, сущность задачи состоит в том, чтобы, соблюдая определенные закономерности, перейти от чертежа в старой системе плоскостей, к чертежу, выполненному в новой системе плоскостей проекций. Для этого необходимо установить, какие из свойств остаются неизменными при таком переходе. Очевидными будут те свойства, которые связаны с положением неподвижности плоскости П₁, т. е.:

1) положение горизонтальной проекции А₁ точки А;

2) высота точки А: |А₁А|=|А_xA₂|=|A`_xA₄| = z.

а	б
Рис. 6.1. Метод замены плоскостей проекций: а – наглядное изображение; б – комплексный чертёж

Рис. 6.2. Преобразование прямой общего положения в прямую уровня

Задача 6.1. Дан отрезок прямой общего положения АВ.

Преобразовать прямую линию общего положения в линию уровня (рис. 6.2).

Алгоритм решения.

1. Параллельно горизонтальной проекции отрезка АВ провести новую ось проекций x`, которая определяет положение новой плоскости П<sub>4</sub>, (А<sub>1</sub>В<sub>1</sub>)II x`.

2. Провести перпендикуляры линий связи из точки А₁ и В₁ к новой оси x`.

3. На этих перпендикулярах от оси x` отложить расстояния, равные удалению точек А и В от плоскости П₁, т. е. значению z для точек А и В.

4. Соединить точки А₄ и В₄ прямой линией.

Вывод. в системе плоскостей П₁П₄ прямая АВIIП₄, т. е. заняла положение уровня.

Отрезок АВ проецируется на плоскость П₄ в истинную величину, т. е. [А₄В₄ ] = | АB |; α – величина угла наклона прямой АВ к плоскости П₁.

Задача 6.2. Дана горизонталь h(AB).

Преобразовать линии уровня в проецирующую прямую (рис. 6.3).

Алгоритм решения.

1. Провести новую ось проекций x`, которая определяет положение новой плоскости П<sub>4</sub> перпендикулярно горизонтальной проекции отрезка АВ, [А<sub>1</sub>В<sub>1</sub>] ^ x`.

2. Провести перпендикуляр линий связи из точки А₁ и В₁ к новой оси x`.

3. На перпендикуляре от оси x` отложить расстояние, равное удалению точек А и В от плоскости П₁, т. е. значению z для точек А и В, A_z = B_z. Получаем А₄ = В₄.

Вывод. в системе плоскостей П₁П₄ прямая АВ^П₄, т. е. заняла проецирующее положение по отношению к плоскости П₄.

Для того чтобы прямую общего положения преобразовать в проецирующую, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций. Вначале прямую следует преобразовать в линию уровня (рис. 6.2), а затем линию уровня преобразовать в проецирующую (рис. 6.3).

Задача 6.3. Дана плоскость общего положения Σ(АВС).

Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую (рис. 6.4).

Алгоритм решения.

1. Построить горизонталь в плоскости.

2. Перпендикулярно h₁ провести новую ось проекций x`, которая определяет положение новой плоскости П₄.

3. От точек А₁, В₁, С₁, 1₁ провести перпендикуляры линий связи к оси x`.

4. На перпендикулярах линий связи от оси x` отложить расстояния, равные удалению точек А, В, С от плоскости П₁.

5. Полученные точки А₄, В₄=1₄, С₄ соединить прямой линией.

Вывод. в системе плоскостей проекций П₁П₄ плоскость Δ(АВС) ^П₄, т. е. заняла проецирующее положение; α – величина угла наклона плоскости Σ(АВС) к плоскости П₁.

Задача 6.4. Дана горизонтально проецирующая плоскость Ρ(АВС). Преобразовать проецирующую плоскость в плоскость уровня (рис. 6.5).

Алгоритм решения.

1. Провести новую ось проекций х` параллельно А₁В₁ на произвольном от нее расстоянии.

2. Провести перпендикуляры линий связи от точек А, В, С.

3. На перпендикулярах отложить расстояния удаления точек А, В, С от плоскости П₁.

4. Построить проекции точек А, В и С на плоскость П₄, А₄, В₄, С₄. Треугольник А₄В₄С₄ является проекцией треугольника(АВС) на плоскость П₄.

Вывод. в системе плоскостей П₁П₄ плоскость Р(АВС)IIП₄.

Для того чтобы плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций. Вначале плоскость необходимо преобразовать в проецирующую рис. 6.4), а затем проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня (рис 6.5).

Пример. Дан треугольник АВС. Определить методом замены плоскостей проекций натуральную величину треугольника АВС (табл. 6.1).

Таблица 6.1

Дата добавления: 2014-10-23