Приклад параметризації та дослідження багатофакторної регресійної моделі

Розглянемо задачу дослідження впливу на економічний показник трьох факторів , а саме досліджуватимемо залежність при­бутку підприємства від інвестицій , витрат на рекламу та витрат на заробітну плату .

Таблиця 3.1

Вихідні дані, млн.. грн.

Номер спостереження,	Прибуток підприємства,	Обсяг інвестицій,	Витрати на рекламу,	Витрати на зарплату,
	15,70	17,37	5,28	1,42
	17,34	18,24	6,47	1,58
	21,57	22,47	6,98	1,98
	33,50	18,47	7,05	2,04
	32,30	16,82	7,94	2,38
	37,90	17,60	8,12	3,48
	40,78	17,12	8,69	3,07

Таблиця 3.1 (продовження)

	48,02	19,81	9,31	3,84
	43,30	18,67	10,45	4,28
	49,57	20,83	10,47	4,67
	52,14	22,84	13,48	5,98
	55,17	28,85	15,78	6,51
	59,18	29,61	17,65	7,82
	62,22	35,67	18,47	8,58
	77,58	47,87	19,64	9,47

Розв’язання:

Припустимо, що між економічним показником і факторами існує лінійний зв'язок.

Запишемо рівняння регресії у вигляді

(3.3).

1. Знайдемо за МНК оцінки параметрів моделі (3.3). Для цього складемо вектор-стовпець Y і матрицю X:

Обчислимо оцінки регресійних коефіцієнтів за формулою (3.2):

.

Знаходимо матрицю моментів:

Знаходимо матрицю помилок:

Обчислюємо добуток та знаходимо вектор оцінок параметрів моделі:

Отже, трьохфакторна лінійна економетрична модель має вигляд:

(3.4).

2. Для перевірки адекватності отриманої моделі обчислимо:

а) залишки моделі – розбіжності між спостереженими та розрахованими за формулою (3.4) при заданих спостереженнях значеннями залежної змінної:

, ;

Зауваження. Обчислення значень можна виконати у матричному вигляді за формулою .

Маємо:

б) відносну похибку розрахункових значень регресії:

середнє значення відносної похибки:

в) середньоквадратичну похибку дисперсії залишків:

(чим менша стандартна похибка S, тим краще функція регресії відповідає дослідним даним);

г) коефіцієнт детермінації, тобто перевіримо загальний вплив не­залежних змінних на залежну змінну:

Висновок: оскільки коефіцієнт детермінації наближається до оди­ниці, варіація залежної змінної Y значною мірою визначається варіа­цією незалежних змінних;

д) вибірковий коефіцієнт множинної кореляції:

Коефіцієнт кореляції досить великий, тому існує тісний лінійний зв'язок усіх незалежних факторів із залежною змінною .

3. Перевіримо статистичну значущість отриманих результатів:

а) обчислимо статистику за формулою (спрощений варіант для перевірки нульової гіпотези: ):

Знайдемо табличне значення статистики :

.

Порівняємо експериментальне (фактичне) значення статистики з табличним.

Оскільки , то нульова гіпотеза відхиляється, тоб­то коефіцієнти регресії є значущими, побудована лінійна трьохфакторна модель є адекватною;

б) обчислимо статистику:

Знайдемо відповідне табличне значення розподілу з ступенями свободи і рівнем значущості :

Оскільки , то можна зробити висновок про дос­товірність коефіцієнта кореляції, який характеризує тісноту зв'язку між залежною та незалежними змінними моделі.

Для вибраного рівня значущості і відповідного числа ступенів свободи запишемо довірчі межі для множинного кое­фіцієнта кореляції :

де

нижня межа довірчого інтервалу:

верхня межа довірчого інтервалу:

Отже, з імовірністю множинний коефіцієнт кореляції знаходиться в інтервалі

.

в) перевіримо значущість окремих коефіцієнтів регресії. Визначимо статистику за формулою

де — діагональний елемент матриці ; —стандартизо­вана похибка оцінки параметра моделі;

Експериментальні значення критерію порівнюємо з табличним з ступенями свободи і рівнем значущості :

Оскільки то відпо­відно оцінки є значущими, а оцінки не є значущими.

Обчислимо відношення

;; ;.

(значення характеризують той факт, що оцінки – незміщені, а оцінки – зміщені);

4. Обчислимо коефіцієнти еластичності:

Коефіцієнт еластичності є показником впливу зміни питомої ваги на у припущенні, що вплив інших факторів відсутній: у нашому випадку він показує, що прибуток підприємства зменшиться на 0,1372 %, якщо інвестиції зростуть на 1%; прибуток підприємства зменшиться на 0,6997%, якщо витрати на рекламу зростуть на 1 %; прибуток підприємства збільшиться на 1,2310%, якщо заробітна плата зросте на 1 %.

Загальна еластичність від усіх факторів :

.

Загальна еластичність показує, що прибуток підприємства збільшиться на 0,3941%, якщо одночасно збільшити на 1 % кожний з факторів (інвестиції, витрати на рекламу та заробітну плату).

5. Побудуємо довірчі інтервали для параметрів регресії. Довірчі інтервали для параметрів обчислюються так:

де — діагональний елемент матриці помилок

; .

Результати розрахунків представлені в таблиці 3.2.

Таблиця 3.2

Межі прогнозних інтервалів параметрів моделі

Параметр моделі	Точкова оцінка	Гранична похибка	Межі прогнозних інтервалів
Нижня межа	Верхня межа
	26,107885		4,306240	47,909531
	-0,2518005		-1,225163	0,721562
	-2,7276709		-9,176028	3,720686
	11,8560238		0,455428	23,256620

6.Обчислимо прогнозне значення прибутку підприємства (точковий прогноз) і знайдемо межі довірчого інтер­валів цього прогнозного значення (інтервальний прогнози):

а) для розрахунку точкового прогнозу у рівняння трьохфакторної лінійної регресії

підставимо прогнозні значення факторів

що лежать за межами базового періоду:

;

б) знайдемо межі інтервального прогнозу індивідуального значення(для ступенів свободи тавибраного рівня значущості за формулою:

,

де

Гранична похибка прогнозу:

.

Нижня межа прогнозного інтервалу:

.

Верхня межа прогнозного інтервалу:

.

Отже, прогнозне значення прибутку підприємства з імовірністю знаходиться у межах від 65,80404 млн. грн. до 95,54938 млн. грн.

Дата добавления: 2014-10-23