Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Замена переменной в определенном интеграле. Вычисление определенного интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница




Пример 2.

Пример 1.

Вычисление определенного интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница

Задача вычисления определенного интеграла свелась к нахождению первообразной непрерывной функции.

Ответ:

 

 

Ответ:

 

Теорема 5. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [ a;b ] и пусть функция x = j (t) имеет непрерывную производную j '(t) на отрезке [ a; b ], область значений этой функции – отрезок [ a;b ], то есть a £ j (t) £ b для x t Î [ a; b ], причем j (a) = a, j (b) = b.

Тогда справедливо равенство:

.

Доказательство. Так как f (x)непрерывна на [ a;b ], то существует определенный интеграл и справедлива формула Ньютона-Лейбница:

(1)

где F(x) – одна из первообразных f (x) на [ a;b ].

Известно, что F(x) дифференцируема в любой точке [ a;b ], причем

F'(x) = f (x) для любого x Î [ a;b ].

Так как функция x = j (t) непрерывна на [ a; b ] и множество ее значений совпадает с отрезком [ a;b ], то сложные функции f (j (t)) и F(j (t)) непрерывны в любой точке t Î [ a; b ].

Так как j ' (t) непрерывна на [ a; b ], то функция f (j (t)) × j ' (t) тоже непрерывна на [ a; b ], а значит существует интеграл:

.

Покажем, что функция F(j (t)) является первообразной для . Действительно, (F(j (t)))' t = F'(xj '(t) = f (xj' (t) = f (j (t))× j' (t) для любого t Î [ a; b ]. Поэтому можно к этому интегралу применить формулу Ньютона-Лейбница:

(так как j (b) = b и j (a) = a). (2)

Сравнивая результаты (1) и (2) приходим к равенству:

.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-10-15; Просмотров: 385; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.007 сек.